单模

在抽象代数中，若一个环 <math>A</math> 上的模 <math>M</math> 其子群只有 <math>\{0\}</math> 及自身，则称 <math>M</math> 为单模。换言之，环 <math>A</math> 上的单模是 <math>A</math>-模范畴中的单对象。单模又称不可约模。

例子

• 当 <math>A</math> 为除环时，其上的单模不外是一维的 <math>A</math>-向量空间。
• 若 <math>I</math> 是 <math>A</math> 的左理想，则 <math>A/I</math> 为单 <math>A</math>-模当且仅当 <math>I</math> 是极大左理想；右理想的情形亦同。

性质

• 单模即长度为一的。
• 单模是不可分解的：它无法写成两个非零子模的直和，但是反之则不然。
• 一般而言，模不一定有单子模。例如 <math>\Z</math> 的每个子模都同构于 <math>\Z</math>，故无单子模。
• 若 <math>f: M \to N</math> 是单 <math>A</math>-模之间的同态，则或者 <math>f</math> 是同构，或者 <math>f=0</math>。由此可证任一单模 <math>M</math> 的自同态环 <math>\mathrm{End}_A(M)</math> 是除环。

参见

• 半单模
• 单群