实质条件
在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、实质蕴涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式：
- 若A，则B。
这里的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这里的A，叫做前件；第二项这里的B，叫做后件。
这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其语义仅为“如果A为真，那么B亦为真”。它的常见写法见下：
- <math> A \to B</math>
- <math>A \supset B</math>
- <math>A \Rightarrow B</math>
须注意的是，<math>\Rightarrow</math>更常用于语意蕴含（等同符号<math>\vDash</math>）。这也是大多数初学者易搞混的点。
真值表[编辑]
涉及实质蕴涵的真值表定义如下：
<math>~A </math> <math>~B</math> <math>~A \rightarrow ~B</math>（符合了“如果A为真，那么B必为真”） F F T F T T T F F T T T
由此可见，<math>A \to B</math> 等价于<math>\neg A \lor B</math>。
形式性质[编辑]
实质条件不要混淆于蕴涵关系<math> \models </math>。但在多数逻辑包括经典逻辑中二者之间有密切关联。例如下列原理成立：
- 如果<math>\Gamma\models\psi</math>则<math>\emptyset\models\phi_1\land\dots\land\phi_n\rightarrow\psi</math>对于某些<math>\phi_1,\dots,\phi_n\in\Gamma</math>。（这是演绎定理的特定形式。）
- 上述的逆命题
- <math>\rightarrow</math>和<math> \models </math>而二者都是单调的；就是说如果<math>\Gamma\models\psi</math>则<math>\Delta\cup\Gamma\models\psi</math>，并且如果<math>\phi\rightarrow\psi</math>则<math>(\phi\land\alpha)\rightarrow\psi</math>对于任何α, Δ。（用结构规则的术语说，这叫做弱化。）
但是这些原理不在所有逻辑中成立。它们显著的不成立于非单调逻辑中，也不成立于相干逻辑中。
实质蕴涵的其他性质：
- 左分配律：<math>A \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
- 传递律：(<math>A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
- 幂等律：<math>A \rightarrow A</math>
- 真理保持:在其下所有变量被指派为真值‘真’的释义生成真值‘真’作为实质蕴涵的结果。
- 前交换律：(<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)) \equiv (B \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
注意<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)</math> 逻辑等价于<math>(A \land B) \rightarrow C</math>；这个性质有时叫做柯里化。由于这些性质，对→符号采用右结合约定是合适的。
对自然语言的符号表示[编辑]
在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。
用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获
A → B
而“A当B”被如下陈述正确捕获
B → A
蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。
| 中文 | 数学表达式 |
|---|---|
| 如果天下雨，我就带伞 | 天下雨→我带伞 |
| 学生只有喜欢数学，才会学好物理 学生因为喜欢数学，物理才学得好 |
喜欢数学→物理学得好 |
| 如果老婆说对，我就要听 | 老婆说对→我就听 |
同其他条件陈述的比较[编辑]
使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有争议的真值推理陈述句。比如前件明显为假设的，任何实质条件的整句陈述结果都是真值成立的。所以陈述句如“假设 <math>2</math>是奇数，则蕴涵了 <math>2</math>是偶数”这样违反自然语言直觉的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陈述都是真的。所以陈述“若天空的颜色是绿色，则巴黎是在法国”是真的。
这些有争议的真值推理陈述句出现，是因为自然口语的人经常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 <math>A</math> 要么是情况 <math>B</math>（或二者）”，或更简单的“ <math>A</math>为假 或 <math>B</math>为真（或二者）”。（当 <math>A</math>为假，此式即已被浅薄的（trivial）满足。这种陈述等价的自然口语方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 <math>\neg A \vee B</math>而获得的。）
引用[编辑]
- Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
- Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
- Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
- Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.
