邏輯異或

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<math>\begin{smallmatrix} p \oplus q \end{smallmatrix} </math> 的文氏圖

在數位邏輯中，邏輯算符異或（英語：Exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型。與一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。

對於命題 <math>p, q</math>，<math>p</math>異或<math>q</math>通常記作<math>p \operatorname{XOR} q</math>或<math>p \oplus q</math>。在程式語言中，常寫作p ^ q。

邏輯異或相當於邏輯不等價，或者說邏輯異或的邏輯非是邏輯等價。

真值表

異或運算<math>p \oplus q</math>的真值表如下：

<math>p</math>	<math>q</math>	<math>p \oplus q</math>
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
註：True：真，False：假。

無論怎樣改變同一行中<math>p, q, p \oplus q</math>的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在數學和工程學中，常常用其他的邏輯運算子來表示異或算符。異或算符可以使用邏輯算符邏輯與<math>\land</math>，邏輯或<math>\lor</math>和邏輯非<math>\lnot</math>表示為：

<math>

\begin{align} p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\

          & = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\
          & = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq})

\end{align} </math>

另外，異或算符可以被推廣，得到關於n個運算元的異或運算：n個運算元的n維異或的值為真若且唯若其中值為真的運算元有奇數個。

異或也可以被表示為：

<math>p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))</math>

異或還可以看作是邏輯等價關係的非運算。

性質

交換律：<math>p \oplus q = q \oplus p</math>

結合律：<math>p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r</math>

恆等律：<math>p \oplus 0 = p</math>

歸零律：<math>p \oplus p = 0</math>

對合運算：<math>p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p</math>

與抽象代數的關係

儘管算子<math>\wedge</math>（邏輯合取）與<math>\lor</math>（邏輯析取）是邏輯系統中最為常見的算子，但結構上，系統<math>(\{T, F\}, \wedge)</math> and <math>(\{T, F\}, \lor)</math>只是么半群。因此，這兩個系統無法合成為一個更大的結構，比如環或半環。

但是，帶有邏輯異或的系統<math>(\{T, F\}, \oplus)</math>是一個交換群。因此，算子<math>\wedge</math>與<math>\oplus</math>的結合在集合<math>\{T, F\}</math>上作用就產生了最基本的二元域<math>F_2</math>。這個域可以得出所有運用<math>(\land, \lor)</math>可以得到的結果，並且由於附帶了域的結構，可以進行代數上的進一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295	地球的天文符號	帶有赤道和一條經線的球體

應用

使用異或運算交換兩個 int 類型變量的數值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變量，但比起使用額外變量來交換變量的做法相比，效能反而比較差。

參見

• 異或門
• 異或密碼