排序演算法

在電腦科學與數學中，一個排序演算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的演算法，排序後的資料即可放在有序陣列。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序演算法在一些演算法（例如搜尋演算法與合併演算法）中是重要的，如此這些演算法才能得到正確解答。排序演算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序演算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

1. 輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
2. 輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序演算法是一個簡單的問題，但是從電腦科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新演算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在電腦科學所使用的排序演算法通常依以下標準分類：

• 計算的時間複雜度（最差、平均、和最好表現），依據串列（list）的大小(<math>n</math>)。一般而言，好的表現是<math>O(n\log n)</math>（大O符號），壞的表現是<math>O(n^2)</math>。對於基於比較的排序，存在 <math>\Omega(n\log n)</math>的下界；而在鍵值範圍受限等條件下，非比較排序可達到線性時間。基於比較的排序演算法對大多數輸入而言至少需要<math>O(n\log n)</math>。
• 記憶體使用量（以及其他電腦資源的使用）
• 穩定性：穩定排序演算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序演算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄<math>R</math>和<math>S</math>，且在原本的串列中<math>R</math>出現在<math>S</math>之前，在排序過的串列中<math>R</math>也將會是在<math>S</math>之前。
• 排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

File:Sorting stability playing cards.svg

穩定排序紙牌的例子。當紙牌用穩定排序按點值排序的時候，兩個5之間必定保持它們最初的次序。在用不穩定排序來排序的時候，兩個5可能被按相反次序來排序。

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

<math>(4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6)</math>

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

<math>(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6) </math> （維持次序）
<math>(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6) </math> （次序被改變）

不穩定排序演算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序演算法從來不會如此。不穩定排序演算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比較中加入第二個標準：第二個鍵值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序演算法列表

在這個表格中，<math>n</math>是要被排序的紀錄數量以及<math>k</math>是不同鍵值的數量。

穩定的排序

• 泡沫排序（bubble sort）— <math>O(n^2)</math>
• 插入排序（insertion sort）—<math>O(n^2)</math>
• 雞尾酒排序（cocktail sort）—<math>O(n^2)</math>
• 桶排序（bucket sort）—<math>O(n)</math>；需要<math>O(k)</math>額外空間
• 計數排序（counting sort）—<math>O(n+k)</math>；需要<math>O(n+k)</math>額外空間
• 合併排序（merge sort）—<math>O(n\log n)</math>；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 原地合併排序— <math>O(n\log^2 n)</math>如果使用最佳的現在版本
• 二元排序樹排序（binary tree sort）— <math>O(n\log n)</math>期望時間；<math>O(n^2)</math>最壞時間；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 鴿巢排序（pigeonhole sort）—<math>O(n+k)</math>；需要<math>O(k)</math>額外空間
• 基數排序（radix sort）—<math>O(nk)</math>；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 侏儒排序（gnome sort）— <math>O(n^2)</math>
• 圖書館排序（library sort）— <math>O(n\log n)</math>期望時間；<math>O(n^2)</math>最壞時間；需要<math>(1+\varepsilon)n</math>額外空間
• 塊排序（block sort）— <math>O(n\log n)</math>
• Tim排序（Timsort）—<math>O(n\log n)</math>平均、最壞時間；<math>O(n)</math>最佳時間；需要<math>O(n)</math>額外空間；是目前已知最快的排序演算法，在Python、Swift、Rust等語言的內建排序功能中被用作預設演算法

不穩定的排序

• 選擇排序（selection sort）—<math>O(n^2)</math>
• 希爾排序（shell sort）—<math>O(n\log^2 n)</math>如果使用最佳的現在版本
• 克洛弗排序（Clover sort）—<math>O(n)</math>期望時間，<math>O(n^2)</math>最壞情況
• 梳排序— <math>O(n\log n)</math>
• 堆積排序（heap sort）—<math>O(n\log n)</math>
• 平滑排序（smooth sort）— <math>O(n\log n)</math>
• 快速排序（quick sort）—<math>O(n\log n)</math>期望時間，<math>O(n^2)</math>最壞情況
• 內省排序（introsort）—<math>O(n\log n)</math>
• 耐心排序（patience sort）—<math>O(n\log n+k)</math>最壞情況時間，需要額外的<math>O(n+k)</math>空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

• Bogo排序— <math>O(n \times n!)</math>，最壞的情況下期望時間為無窮。
• Stupid排序—<math>O(n^3)</math>;遞迴版本需要<math>O(n^2)</math>額外記憶體
• 珠排序（bead sort）— <math>O(n)</math> 或 <math>O(\sqrt{n})</math>,但需要特別的硬體
• 煎餅排序—<math>O(n)</math>,但需要特別的硬體
• 臭皮匠排序（stooge sort）演算法簡單，但需要約<math>n^{2.7}</math>的時間

簡要比較

名稱	資料對象	穩定性	時間複雜度		額外空間複雜度	描述
			平均	最壞
泡沫排序	陣列	File:Yes check.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（無序區，有序區）。 從無序區透過交換找出最大元素放到有序區前端。
選擇排序	陣列	File:X mark.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（有序區，無序區）。 在無序區里找一個最小的元素跟在有序區的後面。對陣列：比較得多，換得少。
	鏈結串列	File:Yes check.svg
插入排序	陣列、鏈結串列	File:Yes check.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（有序區，無序區）。 把無序區的第一個元素插入到有序區的合適的位置。對陣列：比較得少，換得多。
堆積排序	陣列	File:X mark.svg	<math> O(n\log n)</math>		<math>O(1)</math>	（最大堆，有序區）。 從堆頂把根卸出來放在有序區之前，再恢復堆。
合併排序	陣列	File:Yes check.svg	<math> O(n\log^2 n)</math>		<math>O(1) </math>	把資料分為兩段，從兩段中逐個選最小的元素移入新資料段的末尾。 可從上到下或從下到上進行。
			<math> O(n\log n)</math>		<math>O(n) +O(\log n) </math> 如果不是從下到上
	鏈結串列				<math> O(1)</math>
快速排序	陣列	File:X mark.svg	<math>O(n\log n) </math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(\log n)</math>	（小數，基準元素，大數）。 在區間中隨機挑選一個元素作基準，將小於基準的元素放在基準之前，大於基準的元素放在基準之後，再分別對小數區與大數區進行排序。
	鏈結串列	File:Yes check.svg
希爾排序	陣列	File:X mark.svg	<math>O(n\log^2n) </math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(1)</math>	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。
計數排序	陣列、鏈結串列	File:Yes check.svg	<math>O(n+m)</math>		<math>O(n+m)</math>	統計小於等於該元素值的元素的個數i，於是該元素就放在目標陣列的索引i位（i≥0）。
桶排序	陣列、鏈結串列	File:Yes check.svg	<math>O(n)</math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(m)</math>	將值為i的元素放入i號桶，最後依次把桶里的元素倒出來。
基數排序	陣列、鏈結串列	File:Yes check.svg	<math>O(k\times n)</math>	<math>O(n^2)</math>		一種多關鍵字的排序演算法，可用桶排序實現。

• 均按從小到大排列
• k代表數值中的"數位"個數
• n代表資料規模
• m代表資料的最大值減最小值

外部連結

• 不同排序演算法間的比較（英語） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 一些排序演算法的C及Pascal實現
• 視覺化排序 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）