排序算法

在計算機科學與數學中，一個排序算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的算法，排序後的資料即可放在有序陣列。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序算法在一些算法（例如搜尋算法與合併算法）中是重要的，如此這些算法才能得到正確解答。排序算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

1. 輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
2. 輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序算法是一個簡單的問題，但是從計算機科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在计算机科学所使用的排序算法通常依以下標準分類：

• 計算的時間複雜度（最差、平均、和最好性能），依據串列（list）的大小(<math>n</math>)。一般而言，好的性能是<math>O(n\log n)</math>（大O符号），壞的性能是<math>O(n^2)</math>。對於基於比較的排序，存在 <math>\Omega(n\log n)</math>的下界；而在鍵值範圍受限等條件下，非比較排序可達到線性時間。基於比較的排序算法對大多數輸入而言至少需要<math>O(n\log n)</math>。
• 内存使用量（以及其他電腦資源的使用）
• 穩定性：穩定排序算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄<math>R</math>和<math>S</math>，且在原本的串列中<math>R</math>出現在<math>S</math>之前，在排序過的串列中<math>R</math>也將會是在<math>S</math>之前。
• 排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

File:Sorting stability playing cards.svg

稳定排序纸牌的例子。当纸牌用稳定排序按点值排序的时候，两个5之间必定保持它们最初的次序。在用不稳定排序来排序的时候，两个5可能被按相反次序来排序。

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

<math>(4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6)</math>

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

<math>(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6) </math> （維持次序）
<math>(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6) </math> （次序被改變）

不穩定排序算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序算法從來不會如此。不穩定排序算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序算法列表

在這個表格中，<math>n</math>是要被排序的紀錄數量以及<math>k</math>是不同鍵值的數量。

穩定的排序

• 冒泡排序（bubble sort）— <math>O(n^2)</math>
• 插入排序（insertion sort）—<math>O(n^2)</math>
• 鸡尾酒排序（cocktail sort）—<math>O(n^2)</math>
• 桶排序（bucket sort）—<math>O(n)</math>；需要<math>O(k)</math>額外空間
• 计数排序（counting sort）—<math>O(n+k)</math>；需要<math>O(n+k)</math>額外空間
• 归并排序（merge sort）—<math>O(n\log n)</math>；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 原地归并排序— <math>O(n\log^2 n)</math>如果使用最佳的現在版本
• 二叉排序树排序（binary tree sort）— <math>O(n\log n)</math>期望时间；<math>O(n^2)</math>最坏时间；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 鸽巢排序（pigeonhole sort）—<math>O(n+k)</math>；需要<math>O(k)</math>額外空間
• 基數排序（radix sort）—<math>O(nk)</math>；需要<math>O(n)</math>額外空間
• 侏儒排序（gnome sort）— <math>O(n^2)</math>
• 圖書館排序（library sort）— <math>O(n\log n)</math>期望时间；<math>O(n^2)</math>最坏时间；需要<math>(1+\varepsilon)n</math>額外空間
• 塊排序（block sort）— <math>O(n\log n)</math>
• Tim排序（Timsort）—<math>O(n\log n)</math>平均、最坏时间；<math>O(n)</math>最优时间；需要<math>O(n)</math>額外空間；是目前已知最快的排序算法，在Python、Swift、Rust等语言的内置排序功能中被用作默认算法

不穩定的排序

• 選擇排序（selection sort）—<math>O(n^2)</math>
• 希爾排序（shell sort）—<math>O(n\log^2 n)</math>如果使用最佳的現在版本
• 克洛弗排序（Clover sort）—<math>O(n)</math>期望时间，<math>O(n^2)</math>最坏情况
• 梳排序— <math>O(n\log n)</math>
• 堆排序（heap sort）—<math>O(n\log n)</math>
• 平滑排序（smooth sort）— <math>O(n\log n)</math>
• 快速排序（quick sort）—<math>O(n\log n)</math>期望時間，<math>O(n^2)</math>最壞情況
• 內省排序（introsort）—<math>O(n\log n)</math>
• 耐心排序（patience sort）—<math>O(n\log n+k)</math>最坏情況時間，需要額外的<math>O(n+k)</math>空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

• Bogo排序— <math>O(n \times n!)</math>，最壞的情況下期望時間為無窮。
• Stupid排序—<math>O(n^3)</math>;遞迴版本需要<math>O(n^2)</math>額外記憶體
• 珠排序（bead sort）— <math>O(n)</math> 或 <math>O(\sqrt{n})</math>,但需要特別的硬體
• 煎餅排序—<math>O(n)</math>,但需要特別的硬體
• 臭皮匠排序（stooge sort）算法简单，但需要约<math>n^{2.7}</math>的时间

简要比较

名称	数据对象	稳定性	时间复杂度		額外空间复杂度	描述
			平均	最坏
冒泡排序	数组	File:Yes check.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（无序区，有序区）。 從无序区透過交換找出最大元素放到有序区前端。
选择排序	数组	File:X mark.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（有序区，无序区）。 在无序区里找一个最小的元素跟在有序区的后面。对数组：比较得多，换得少。
	链表	File:Yes check.svg
插入排序	数组、链表	File:Yes check.svg	<math>O(n^2)</math>		<math>O(1)</math>	（有序区，无序区）。 把无序区的第一个元素插入到有序区的合适的位置。对数组：比较得少，换得多。
堆排序	数组	File:X mark.svg	<math> O(n\log n)</math>		<math>O(1)</math>	（最大堆，有序区）。 从堆顶把根卸出来放在有序区之前，再恢复堆。
归并排序	数组	File:Yes check.svg	<math> O(n\log^2 n)</math>		<math>O(1) </math>	把数据分为两段，从两段中逐个选最小的元素移入新数据段的末尾。 可从上到下或从下到上进行。
			<math> O(n\log n)</math>		<math>O(n) +O(\log n) </math> 如果不是从下到上
	链表				<math> O(1)</math>
快速排序	数组	File:X mark.svg	<math>O(n\log n) </math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(\log n)</math>	（小数，基准元素，大数）。 在区间中随机挑选一个元素作基准，将小于基准的元素放在基准之前，大于基准的元素放在基准之后，再分别对小数区与大数区进行排序。
	链表	File:Yes check.svg
希爾排序	数组	File:X mark.svg	<math>O(n\log^2n) </math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(1)</math>	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。
计数排序	数组、链表	File:Yes check.svg	<math>O(n+m)</math>		<math>O(n+m)</math>	统计小于等于该元素值的元素的个数i，于是该元素就放在目标数组的索引i位（i≥0）。
桶排序	数组、链表	File:Yes check.svg	<math>O(n)</math>	<math>O(n^2)</math>	<math>O(m)</math>	将值为i的元素放入i号桶，最后依次把桶里的元素倒出来。
基数排序	数组、链表	File:Yes check.svg	<math>O(k\times n)</math>	<math>O(n^2)</math>		一种多关键字的排序算法，可用桶排序实现。

• 均按从小到大排列
• k代表数值中的"数位"个数
• n代表数据规模
• m代表数据的最大值减最小值

外部链接

• 不同排序算法间的比较（英语） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 一些排序算法的C及Pascal实现
• 可视化排序 （页面存档备份，存于互联网档案馆）