質數階乘
質數階乘（又稱：素數階乘）是所有小於或等於該數的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作pn#。例：第三個質數為5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 質數階乘與階乘不同於，質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。
用質數定義[編輯]
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積：[1][2]
- <math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>
其中pk是第k個質數。
例如，p5#代表前五個質數的乘積：
- <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>
前幾個質數階乘pn#是：
並定義p0# = 1 為空積。
質數階乘pn#的漸進遞增為：
- <math>p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]</math>[2]
其中：
用自然數定義[編輯]
一般情況下，對於正整數n的一質數階乘n#（或稱作自然質數階乘）也可以被定義為：[1][3]
- <math>n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>
其中，π(n)是質數計數函數（OEIS數列A000720），表示小於或等於某個實數n的質數的個數。
它等於：
- <math>
n\# = \begin{cases}
1 & \text{if }n = 1 \\
n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \land n \text{ is prime} \\
(n-1)\# & \text{if }n > 1 \land n \text{ is composite}
\end{cases} </math>
例如，12# 代表質數≤ 12：
- <math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310</math>
因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：
- <math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310</math>
前幾個自然質數階乘n#是：
不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#，因為12為合成數。
n#的自然對數是第一個柴比雪夫函數，記為<math>\theta(n)</math> 或 <math>\thetasym(n)</math>。換句話說，若<math>n\#</math>是不大於n的質數的質數階乘，則<math>\ln{n\#} = \thetasym(n)</math>，或等價地，<math>n\# = e^{\thetasym(n)}</math>[4]
質數階乘n#的漸進遞增為：
- <math>\ln (n\#) \sim n</math>
質數階乘的概念可以用於證明質數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）
恆等式[編輯]
黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function <math>J_{k}(n)</math>表示：
<math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>
質數階乘列表（部分）[編輯]
| n | n# | pn | pn# |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 無質數 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 3 | 6 | 5 | 30 |
| 4 | 6 | 7 | 210 |
| 5 | 30 | 11 | 2310 |
| 6 | 30 | 13 | 30030 |
| 7 | 210 | 17 | 510510 |
| 8 | 210 | 19 | 9699690 |
| 9 | 210 | 23 | 223092870 |
| 10 | 210 | 29 | 6469693230 |
| 11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
| 12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
| 13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
| 14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
| 15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
參見[編輯]
參考文獻[編輯]
- Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (編). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Sloane, N.J.A. (編). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）.