2的自然对数

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2的自然对数
2的自然对数
數表—无理数
<math>\color{blue}\sqrt{2}</math> - <math>\color{blue}\varphi</math> - <math>\color{blue}\sqrt{3}</math> - <math>\color{blue}\sqrt{5}</math> - <math>\color{blue}\delta_S</math> - <math>\color{blue}e</math> - <math>\color{blue}\pi</math>
識別
種類無理數
符號<math>\ln{2}</math>
性質
連分數[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10] （OEIS數列A016730）
<math>0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \ddots
以此為根的多項式或函數<math>e^x-2 = 0</math>[1]
表示方式
值<math>\ln{2}\approx</math>0.693147180...

}}}</math> | basedata = 二进制0.101100010111001000010111…十进制0.693147180559945309417232…十六进制0.B17217F7D1CF79ABC9E3B398…

}} ln2（OEIS數列A002162）约为：

<math>\ln 2 \approx 0.693147</math>

使用对数公式

<math>\log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln b}.</math>

可以求出log2，它约为：（OEIS數列A007524）

<math>\log_{10} 2 \approx 0.301029995663981195</math>。

數學家理查德·施羅培爾（英语：Richard Schroeppel）在1972年證明，不尋常數的自然密度等於 <math>\ln 2</math>。換言之，若 <math>u(n)</math> 表示不大於 <math>n</math> 的自然數之中，有多少個數 <math>a</math> 具有大於 <math>\sqrt a</math> 的質因數，則有：

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u(n)}{n} = \ln(2) = 0.693147 \dots\, .</math>

公式[编辑]

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.</math>
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} = 2\ln 2 -1.</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.</math>
<math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{1}{2}\ln 2.</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta(2n) = \frac{1}{2}(1-\ln 2).</math>

<math>\gamma</math>是欧拉-马歇罗尼常数，<math>\zeta</math>是黎曼ζ函數。

<math>\ln 2 = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{k2^k}.</math>[2]: 31 
<math>\ln 2 = \sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k}\right)\frac{1}{k}.</math>
<math>\ln 2 = \frac{2}{3}+\sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right)\frac{1}{16^k}.</math>（贝利－波尔温－普劳夫公式）
<math>\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k\ge 0} \frac{1}{(2k+1)9^k}.</math>（基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）

积分公式[编辑]

<math>\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2</math>
<math>\int_1^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{1}{4}(1-\ln 2)</math>
<math>\int_0^\infty \frac{dx}{1+e^{nx}} = \frac{1}{n}\ln 2;

\int_0^\infty \frac{dx}{3+e^{nx}} = \frac{2}{3n}\ln 2</math>

<math>\int_0^\infty \left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}\right)=\ln 2</math>
<math>\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} dx= \ln 2</math>
<math>\int_0^1 \ln\frac{x^2-1}{x\ln x}dx=-1+\ln 2+\gamma</math>
<math>\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx=\ln 2</math>
<math>\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x+\cos x)dx=-\frac{\pi}{4}\ln 2</math>
<math>\int_0^1 x^2\ln(1+x)dx=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{5}{18}</math>
<math>\int_0^1 x\ln(1+x)\ln(1-x)dx=\frac{1}{4}-\ln 2</math>
<math>\int_0^1 x^3\ln(1+x)\ln(1-x)dx=\frac{13}{96}-\frac{2}{3}\ln 2</math>
<math>\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx = -\ln 2</math>
<math>\int_0^1 \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}dx=1-2\ln2</math>
<math>\int_0^1 \frac{dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)} = \ln 2</math>
<math>\int_1^\infty \frac{\ln\ln x}{x^3}dx = -\frac{1}{2}(\gamma+\ln 2)</math>

<math>\gamma</math>是欧拉-马歇罗尼常数。

其他公式[编辑]

用皮尔斯展开式（A091846）表达ln2：

<math> \log 2 = \frac{1}{1} -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\ldots</math>.

用恩格尔展开式A059180表达ln2：

<math>\log 2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\ldots </math>.

用余切展开式A081785表达ln2：

<math>\log 2 = \cot(\arccot 0 -\arccot 1 +\arccot 5 -\arccot 55+\arccot 14187-\ldots)</math>.

其他對數[编辑]

範例[编辑]

10的自然對數[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Wolfram, Stephen. "e^x-2=0". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （English）. 
  2. ^ Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. §2.2 Integer Relation Detection. Experimental Mathematics in Action. A K Peters/CRC Press. 2007: pp. 29-31. ISBN 978-1568812717. 

外部連結[编辑]

參見[编辑]

检索自“https://arolstar52-zhtest.hf.space/index.php?title=2的自然对数&oldid=750124”