黑格納數

黑格納數（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虛二次域Q(√−d)的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註解 1]}^[1]。

黑格納數只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納（英語：Kurt Heegner）提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理（英語：Stark–Heegner theorem）。

歐拉的質數多項式[編輯]

歐拉的質數多項式如下：

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相關於黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，<math>n</math>取值為1,... 40和以下的多項式

讓<math>n</math>取值0,... 39時等效，而Rabinowitz^[2]證明了

在<math>n=0,\dots,p-2</math>時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式<math>1-4p</math>等於負的黑格納數。

（若代入<math>p-1</math>會得到<math>p^2</math>一定不是質數，因此最大值只能取到<math>p-2</math>）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格納數為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為<math>2,3,5,11,17,41</math>，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈（英語：François Le Lionnais）稱為歐拉的幸運數（英語：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉馬努金常數是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值，是超越數^[4]，但非常接近整數：

<math>e^{\pi \sqrt{163}} = 262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots</math>

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現^[5]，在1975年愚人節的《科學美國人》^[6]，《數學遊戲》的專欄作家馬丁·加德納故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉馬努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

↑ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。

↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
↑ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
↑ Weisstein, Eric W. (編). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）. gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
↑ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
↑ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.