黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指满足以下性质，非平方数的正整数：其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环^{[注解 1]}^[1]。

黑格纳数只有以下九个： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS数列A003173）

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个，但未提出证明，1952年库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）提出不完整的证明，后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明，即为斯塔克–黑格纳定理（英语：Stark–Heegner theorem）。

欧拉的质数多项式[编辑]

欧拉的质数多项式如下：

在n = 1, ..., 40时会产生不同的40个质数，这相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式，<math>n</math>取值为1,... 40和以下的多项式

让<math>n</math>取值0,... 39时等效，而Rabinowitz^[2]证明了

在<math>n=0,\dots,p-2</math>时，多项式为质数的充份必要条件为其判别式<math>1-4p</math>等于负的黑格纳数。

（若代入<math>p-1</math>会得到<math>p^2</math>一定不是质数，因此最大值只能取到<math>p-2</math>）

1, 2和3不符合要求，因此符合条件的黑格纳数为<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>，也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为<math>2,3,5,11,17,41</math>，这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈（英语：François Le Lionnais）称为欧拉的幸运数（英语：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值，是超越数^[4]，但非常接近整数：

<math>e^{\pi \sqrt{163}} = 262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots</math>

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现^[5]，在1975年愚人节的《科学美国人》^[6]，《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数，而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数，因此以他的名字来命名。

↑ Q(√−d)的整数环为唯一分解整环，也就表示Q(√−d)的数字都只有一种因数分解方式，例如Q(√−5)的整数环不是唯一分解整环，因为6可以以两种方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整数乘积：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。

↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
↑ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
↑ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）. gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
↑ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
↑ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.