交運算
在數學中，在一個集合上的交(meet)有兩種定義：關於在這個集合上的偏序的唯一下確界(最大下界)，假定下確界存在的話； 或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下，這個集合與交運算一起是半格。這兩個定義產生等價的結果，除了在偏序方式中有可能直接定義更一般的元素的集合的交。最常見到交運算的領域是格。
通常把 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交指示為 <math>x \land y</math>。
偏序定義[編輯]
設 A 是帶有偏序 <math>\leq</math> 的一個集合，並設 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是 A 中的兩個元素。A 的一個元素 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交(或最大下界或下確界)，如果滿足了下列兩個條件:
- 1. <math>z \leq x</math> 且 <math>z \leq y</math> (就是說，<math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)；
- 2. 對於 A 中的任何 <math>w</math>，使得 <math>w \leq x</math> 且 <math>w \leq y</math>，有着 <math>w \leq z</math> (就是說，<math>z</math> 大於任何其他 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)。
如果有 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交，則它的確是唯一的，因為如果 <math>z</math> 和 <math>z'</math> 都是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的最大下界，則 <math>z \leq z' \leq z</math>，因而 <math>z = z'\,</math>。如果交確實存在，它被指示為 <math>x \land y</math>。在 A 中的某對元素可能缺乏一個交，要麼因為它們根本沒有下界，要麼因為它們的下界中沒有一個大於所有其他的。如果所有的元素對都有交，則交實際上是在 A 上的二元運算，並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對有 A 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math>
- a. <math>x \land y = y \land x</math> (交換律)，
- b. <math>x \land (y \land z) =(x \land y) \land z</math> (結合律)，
- c. <math>x \land x = x</math> (冪等律)。
泛代數定義[編輯]
通過定義，在集合 A上的 二元運算 <math>\land</math> 是交，如果它滿足上面的三個條件 a, b 和 c。有序對 (A,<math>\land</math>) 就是交半格。此外，我們可以定義在 A 上二元關係 <math>\leq</math>，通過聲稱 <math>x \leq y</math> 當且僅當 <math>x \land y = x</math>。實際上，這個關係是在 A 上的偏序。對於 A 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math> 有
- <math>x \leq x</math>，因為 <math>x \land x = x</math>，通過公理 c；
- 如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq x</math> 則 <math>x = x \land y = y \land x = y</math>，通過公理 a；
- 如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq z</math> 則 <math>x \leq z</math>，因為 <math> x \land z = (x \land y) \land z = x \land (y \land z) = x \land y = x</math>，通過公理 b 。
兩個定義的等價性[編輯]
如果 (A,<math>\leq</math>) 是偏序集合，使得對於每對 A 中的元素都有交，則確實有 <math>x \land y = x</math> 當且僅當 <math>x \leq y</math>，因為在後者情況下 <math>x</math> 確實是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界，並且明顯的 <math>x</math> 是最大下界當且僅當它是下界。所以用泛代數方式的交定義的偏序一致於最初的偏序。
反過來，如果 (A,<math>\land</math>) 是交半格，並且偏序 <math>\leq</math> 按泛代數方式定義，對於A 中某些元素 <math>x</math> 和 <math>y</math> 有 <math>z = x \land y</math>，則 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 關於 <math>\leq</math> 的最大下界，因為 <math>z \land x = x \land z = (x \land x) \land y = z \;\Rightarrow\; z \leq x</math>，類似的 <math>z \leq y</math>，並且如果 <math>w</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的另一個下界，則 <math>w \land x = w \land y = w</math>，從而 <math>w \land z = w \land (x \land y) = (w \land x) \land y = w \land y = w</math>。所以這個用最初的交定義的偏序定義的交一致於最初的交。
換句話說，兩種方式生成本質上等價的概念，集合配備了二元關係和二元運算二者，使得每個結構都由另一個確定，而且分別滿足偏序或交的條件。
一般子集的交[編輯]
如果 (A,<math>\land</math>) 是交半格，則交可以被擴為任何非空有限集合的良好定義的交，通過在迭代二元運算中描述的描述的技術。可供選擇的，如果交定義或定義自一個偏序，A 的某個子集確實有關於它的下確界。對於非空有限子集，這兩種方式產生同樣的結果，因為都可以做為交的定義。在 A 的每個子集都有交的情況下，(A,<math>\leq</math>) 是完全格；詳情參見完全性 (序理論)。