实质条件
在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、實質蘊涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式：
- 若A，則B。
这裡的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这裡的A，叫做前件；第二项这裡的B，叫做后件。
这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其語義僅爲“如果A為真，那么B亦為真”。它的常見寫法見下：
- <math> A \to B</math>
- <math>A \supset B</math>
- <math>A \Rightarrow B</math>
須注意的是，<math>\Rightarrow</math>更常用於語意蘊含（等同符號<math>\vDash</math>）。這也是大多數初學者易搞混的點。
真值表[编辑]
涉及实质蕴涵的真值表定义如下：
<math>~A </math> <math>~B</math> <math>~A \rightarrow ~B</math>（符合了「如果A為真，那麼B必為真」） F F T F T T T F F T T T
由此可见，<math>A \to B</math> 等价于<math>\neg A \lor B</math>。
形式性質[编辑]
實質條件不要混淆於蘊涵關係<math> \models </math>。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：
- 如果<math>\Gamma\models\psi</math>則<math>\emptyset\models\phi_1\land\dots\land\phi_n\rightarrow\psi</math>對于某些<math>\phi_1,\dots,\phi_n\in\Gamma</math>。（這是演繹定理的特定形式。）
- 上述的逆命題
- <math>\rightarrow</math>和<math> \models </math>而二者都是單調的；就是說如果<math>\Gamma\models\psi</math>則<math>\Delta\cup\Gamma\models\psi</math>，并且如果<math>\phi\rightarrow\psi</math>則<math>(\phi\land\alpha)\rightarrow\psi</math>對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）
但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。
實質蘊涵的其他性質：
- 左分配律：<math>A \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
- 傳遞律：(<math>A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
- 冪等律：<math>A \rightarrow A</math>
- 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。
- 前交換律：(<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)) \equiv (B \rightarrow (A \rightarrow C))</math>
注意<math>A \rightarrow (B \rightarrow C)</math> 邏輯等價於<math>(A \land B) \rightarrow C</math>；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。
對自然語言的符号表示[编辑]
在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。
用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获
A → B
而“A当B”被如下陈述正确捕获
B → A
蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。
| 中文 | 数学表达式 |
|---|---|
| 如果天下雨，我就带伞 | 天下雨→我带伞 |
| 学生只有喜欢数学，才会学好物理 學生因為喜欢数学，物理才学得好 |
喜欢数学→物理学得好 |
| 如果老婆說對，我就要聽 | 老婆說對→我就聽 |
同其他条件陈述的比较[编辑]
使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的，任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如“假設 <math>2</math>是奇数，則蕴涵了 <math>2</math>是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述“若天空的颜色是绿色，则巴黎是在法国”是真的。
这些有爭議的真值推理陳述句出现，是因为自然口语的人經常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 <math>A</math> 要么是情况 <math>B</math>（或二者）”，或更简单的“ <math>A</math>为假 或 <math>B</math>为真（或二者）”。（當 <math>A</math>为假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。这种陈述等价的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 <math>\neg A \vee B</math>而获得的。）
引用[编辑]
- Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
- Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
- Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
- Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.
