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2021-08-17T09:56:41Z

一般定义：調整內部連結

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[[数学]]中，'''Pin 群'''是一个[[二次型]]空间相伴的[[克利福德代数]]的一个子群。它有一个到[[正交群]]的 2 对 1 映射，就像 [[Spin 群]]映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射'''不是'''满的也不是[[万有覆叠空间]]，但对定二次型，两者都正确。

== 一般定义 ==
{{See also|克利福德代数#旋量群與Pin群}}

== 确定形式 ==
[[File:Spin-Pin-SO-O-definite.svg|right]]

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射，每个分支都是单连通的：它是正交群的二重覆叠。正定二次型 <math>Q</math> 和它的负形式 <math>-Q</math> 不是同构的，但是正交群是同构的
{{NoteTag|事实上，他们可以作为 ''GL''(''V'') 的子集相等而不仅仅是抽象的同构：保持一个形式的算子等且仅当保持其负形式。}}。

就标准形式而言，<math>O(n,0) = O(0,n)</math>，但是 <math>\mbox{Pin}(n,0) \not\cong \mbox{Pin}(0,n)</math>。使用 Clifford 代数（这里 <math>v^2=Q(v) \in C\ell(V,Q)</math>）中通用的“±”号记法，我们可以写成

:<math>\mbox{Pin}_+(n) := \mbox{Pin}(n,0) \qquad \mbox{Pin}_-(n) := \mbox{Pin}(0,n)</math>
它们都是到 <math>O(n) = O(n,0) = O(0,n)</math> 的满射。

与之对比，我们有同构{{NoteTag|他们是不通代数的子代数 <math>C\ell(n,0) \not\cong C\ell(0,n)</math>，但是他们作为向量空间 <math>C\ell(n,0) = C\ell(0,n) = \Lambda^* \mathbf{R}^n</math> 的子集相等，而且带有相同的代数结构，从而他们自然同构。}} <math>\mbox{Spin}(n,0) \cong \mbox{Spin}(0,n)</math> 且他们都是[[特殊正交群]] SO(''n'') 惟一的[[万有覆叠]]。

== 不定形式 ==

== 作为拓扑空间 ==
任何[[连通空间|连通]][[拓扑群]]在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间，这个空间有惟一的群结构作为[[基本群]]的[[中心扩张]]。对一个不连通拓扑空间，含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠，然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠（这是单位分支的[[主齐性空间]]），但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间，由 Clifford 代数中得出：存在其他类似的群，对于于其他分支的其他二重覆叠或者其他群结构，但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群，研究得也少。

== 结构 ==
两个 Pin 群对应于中心扩张
:<math>1 \to \{\pm 1\} \to \mbox{Pin}_\pm(V) \to O(V) \to 1</math>
<math>\mbox{Spin}(V)</math>（行列式为 1 的分支）上的群结构已经定义好了；其余分支的群结构由中心确定，从而有一个 <math>\pm 1</math> 分歧。

两个扩张由一个反射的原像的平方是 <math>\pm 1\in \ker \left(\mbox{Spin}(V) \to SO(V)\right)</math> 区分，这两个 Pin 群即是这样命名的。明确地说，一个反射在 <math>O(V)</math> 中的指数为 2，<math>r^2=1</math>，所以反射的原像的平方（具有行列式 1）一定在 <math>\mbox{Spin}_\pm(V) \to SO(V)</math> 的核中，所以 <math>\tilde r^2 = \pm 1</math>，两种选择都确定了一个 Pin 群（因为所有反射共轭于联通群 <math>SO(V)</math> 的中一个元素，所有反射的平方一定具有相同值）。

具体地，在 <math>\mbox{Pin}_+</math> 中，<math>\tilde r</math> 的指数为 2，子群 <math>\{1,r\}</math> 的原像是 <math>C_2 \times C_2</math>：如果我们重复同一个[[反射 (数学)|反射]]，得到恒同。

在 <math>\mbox{Pin}_-</math> 中，<math>\tilde r</math> 的指数为 4：
如果重复同一个反射两次，我们得到了一个“[[旋转]] 2π”——<math>\mbox{Spin}(V) \to SO(V)</math> 中的非平凡元可以理解为“[[旋转]] 2π”（每一个轴得出相同的元素）。

=== 低维数 ===
在 2 维，<math>\mbox{Pin}_+</math> 与 <math>\mbox{Pin}_-</math> 的区别反映了一个正 2''n'' 边形的[[二面体群]]和[[循环群]] <math>C_{2n}</math> 的区别。

在 <math>\mbox{Pin}_+</math> 中，一个正 2''n'' 边形的[[二面体群]]的原像，视为子群 <math>\mbox{Dih}_n < O(2)</math>，是 2''n'' 边形的二面体群 <math>\mbox{Dih}_{2n} < \mbox{Pin}_+(2)</math>；然而在 <math>\mbox{Pin}_-</math> 中二面体群的原像是循环群 <math>\mbox{Dic}_n < \mbox{Pin}_-(2)</math>

在 1维，Pin 群共轭于第一个二面体群和循环群：
:<math>\begin{align}
\mbox{Pin}_+(1) &\cong C_2 \times C_2 = \mbox{Dih}_1\\
\mbox{Pin}_-(1) &\cong C_4 = \mbox{Dic}_1
\end{align}</math>

== 中心 ==

== 不定 Pin 群 ==
[[广义正交群|Spin(p,q)]] 有八种不同的二重覆叠，对 <math>p,q\neq 0</math>，这对应于用 <math>C_2</math> 中心扩张（中心不是 <math>C_2 \times C_2</math> 就是 <math>C_4</math>）。只有其中两个称为 Pin 群，他们可以将 [[Clifford 代数]]作为一个表示。他们分别称为 ''Pin''(''p'',''q'') 和 ''Pin''(''q'',''p'')。

== 命名 ==
这个群的名称在 [[迈克尔·阿蒂亚]]、[[拉乌尔·博特]]、A. Shapiro：
''Clifford modules''（Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17）一文中引入，他们说“这个笑话归于 [[让-皮埃尔·塞尔|J-P. Serre]]”。这是“Spin”的[[逆构词法]]：Pin 之于 Spin 就像 O(''n'') 之于 SO(''n'')，从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步，词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同，这暗示了这个名称的起源于（或被归于）塞尔。{{NoteTag|法语俚语“[http://fr.wiktionary.org/wiki/pine pine]”意为“penis”，进一步，当说“Pin 群有 2 部分”（偶部分 Spin 和奇部分）暗示了两者近似的结构比较。<ref>{{cite newsgroup
| title = Re: Math jokes (dirty): Explanation
| author = Pertti Lounesto
| date = 04 Dec 1993 09:36:24 GMT
| newsgroup = sci.math
| id = LOUNESTO.93Dec4113624@dopey.hut.fi
| url = http://groups.google.com/group/sci.math/tree/browse_frm/month/1993-12/f6a164fb29095c60?rnum=211&_done=%2Fgroup%2Fsci.math%2Fbrowse_frm%2Fmonth%2F1993-12%3Ffwc%3D2%26
| accessdate = 2007-11-27
}}</ref>}}

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:李群]]

Pin群 - 版本历史

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