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{{整数
|other list=[[-2i|<<]] [[-i]] '''0''' [[虛數單位|i]] [[2i]] [[3i]] [[4i|>>]]
| 大写 = 零
| 小写 = 〇
| 三進制 = hide
| 四進制 = hide
| 五進制 = hide
| roman = 不適用
| 质因数分解 = 不在可因數分解的整數的範圍內 （任意質數皆為其[[質因數]]）
| 因數 = 任意整數皆為其[[因數]]
| 相反數 = 0或[[−0]]
| 絕對值 = 0
|lang1=[[阿拉伯文数字|阿拉伯文]]、 [[中库尔德语]]、 [[波斯语]]、 [[信德语]]、 {{link-en|印度斯坦數字|Urdu numerals|印度斯坦语}}
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{{高斯整數導航}}
'''0'''（'''零'''／'''〇'''）是代表“空[[量 (数学)|量]]”（无）的一个[[数]]。0是[[-1]]与[[1]]之间的[[整数]]，属于[[偶数]]，其既不是[[正数]]也不是[[负数]]。

0是大多数[[记数系统]]的[[位值]]记号，同样作为[[占位符]][[数字]]使用。这种用法起源于[[印度数学]]，中世纪时经伊斯兰数学家传播到欧洲，并由[[斐波那契]]推广。玛雅人也独立使用了相关概念。

在[[数论]]中，0不属于[[自然数]]；但在[[集合论]]和[[计算机科学]]中，0属于[[自然数]]。0在[[整数]]、[[实数]]和其他的[[代数]]結構中都有著[[單位元]]這個很重要的性質。

== 歷史 ==
关于“0”的概念在其它地区很早就有。[[巴比伦]]人、[[古埃及]]人、[[玛雅人|玛雅]]人分别独立发明了“0”<ref>{{harvnb|柯利弗德|2013|p=45}}</ref>。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。[[瑪雅文明]]最早發明特别字体的“0”。[[玛雅数字|瑪雅數字]]中，“0”以貝殼模樣的象形符號代表。古埃及早在公元[[前2千年]]就有人在[[簿記|记账]]时用特别[[符号]]来表示“0”，但该符号并未加入到[[古埃及数字]]中。

现在使用的“0”的發明则始於[[印度]]。公元前2000年，[[印度]]最古老的文獻《[[吠陀]]》已有特別「0」概念的應用，當時的0在印度表示[[無]]（空）的位置。0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。他们最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了“0”。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家[[婆羅摩笈多]]說明了0加0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度產生並得以發展，是因為印度佛教中存在著「絕對無」這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在-{訪問}-現[[伊拉克]]首都[[巴格达|巴格達]]期間，將印度的這種[[印度-阿拉伯数字系统|記數法]]介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字了。

10世纪[[波斯]]数学家[[伊本·拉班]]《[[印度算术原理]]》第一部分叙述用[[印度數字|印度数字]]0到9为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

在《計算之書》（Liber Abaci）中，斐波那契於公元1200年左右向歐洲人介紹了九個印度符號以及數字0，但此後很長一段時間內，這些符號並未得到廣泛應用。值得注意的是，斐波那契並沒有大膽地將0與其他數字1、2、3、4、5、6、7、8、9同等看待，因為他稱0為“符號”，而將其他符號則稱為數字。儘管將印度數字引入歐洲顯然意義重大，但我們可以看出，在他對0的處理上，他並未達到印度數學家婆羅摩笈多、摩訶毘羅和婆什迦羅，以及阿拉伯和伊斯蘭數學家如薩馬瓦爾的水平。<ref>{{Cite web |title=Zero |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk |archive-url=https://web.archive.org/web/20150205050844/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |archive-date=2015-02-05 |access-date=2026-01-12}}</ref>由於法律界的禁令與懷疑<ref>{{Cite web |title=A history of MATHEMATICS|url=https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cajorihist.pdf?utm_ |archive-date=2020-02-12 |access-date=2026-02-20}}</ref>，以及學術界上的質疑<ref>{{Cite web |title=Persian Heritage |url=https://persian-heritage.com/wp-content/uploads/2020/03/PH84-E.pdf?utm_ |archive-date=2020-02-12 |access-date=2026-02-20}}</ref>，在初引入0这个符号到西方时，曾經引起西方人的困惑，當時西方認為所有數都是[[可數]]，而0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立。（如除以0）<ref>{{Cite book |title=A to Z of Philosophy |url=https://books.google.com.hk/books?id=-QLnJMKwhJUC&pg=PA141 |last=Moseley |first=Alexander |publisher=A&C Black |date=2008-11-27 |isbn=978-1-4411-8391-0 |page=141 |language=en}}</ref>直至約公元15、16世紀，零才开始被广泛使用，在此之前，它经历了诸多阻力。<ref>{{Cite web |title=Zero |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk |archive-url=https://web.archive.org/web/20150205050844/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |archive-date=2015-02-05 |access-date=2026-01-12}}</ref>中世紀歐洲對0的不重視，甚至引起了“0是[[魔鬼]]數字，而被禁用，”這一流传甚广的历史谬论。<ref>{{Cite book |title=Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society |url=https://books.google.com.hk/books?id=QZQK6as71lsC&pg=PA6 |last=Stavish |first=Mark |publisher=Llewellyn Worldwide |date=2007 |isbn=978-0-7387-1148-5 |page=6 |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=Medieval Europe’s satanic ciphers: on the genesis of a modern myth |url=https://www.history.ox.ac.uk/publication/1074391/hyrax?utm |archive-date=2020-02-12 |access-date=2026-02-20}}</ref>

中国古代的[[算筹|筹算]]数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“〦〧　〨 ”。[[前4世纪]]，中国[[数学家]]已经了解[[負數]]和零的概念<ref>{{Citation|title=Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods)|last=Wáng|first=Qīngxiáng|isbn=4-88595-226-3|publisher=Tōyō Shoten|place=Tokyo|year=1999}}</ref>。[[1世纪]]的《[[九章算術]]》说：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「方程相消：遇到同符号系数应相减其数值，遇到异符号系数应相加其数值，正系数遇到没有未知项应取负，负系数遇到没有未知项应取正。」）以上文字裡的「無入」{{来源请求|通常被{{谁|数学历史家}}认为是零的概念}}。當時并没有使用符号來表示零。

{{Infobox|caption=Caption for example.png|data1={{v-1}}元|data2={{v-4}}{{h8}}{{Rod0}}|data3=李冶《测圆海镜》第十四问用以上符号代表：<math>-480-x</math>。}}[[690年]]時，[[武则天]]颁布了[[则天文字]]，其中一个字就是「'''〇'''」，当时的意义同“星”，代表圆形的星球<ref>《新唐书·-{后}-妃传上·则天武皇-{后}-传》：“载初中，又享万象神宫，以太穆、文德二皇-{后}-配皇地祇，引周忠孝太-{后}-从配。作……、'''〇'''、……，十又二文。”按《说文解字》：“曐，万物之精。上为列星。从晶，生声。一曰象形，从'''〇'''。”</ref><ref>小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與[[圈號]]（CIRCLE）混淆。</ref>。[[瞿曇悉達]]于[[718年]]将印度数字“0”引入中国，以此来代替[[算筹]]<ref>{{Citation|title=中國數學史|last=Qian|first=Baocong|year=1964|publisher=科學出版社|place=北京}}</ref><ref>{{Citation|title=Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）|last=Wáng|first=Qīngxiáng|isbn=4-88595-226-3|publisher=東洋書店|place=東京|year=1999}}</ref>。宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字<ref>郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010</ref>。1247年，[[秦九韶]]在其著作[[數書九章]]中使用符號「〇」來表示“0”的概念。<ref>Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth''. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.</ref>1248年，[[李冶]]《[[测圆海镜]]》中也使用了「〇」。

汉字“零”起初并不具有数字“0”的意思。“零”起初表示“零碎”的意思，比如“零头”等。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着数字的引进。“105”读作“一百零五”，“零”字与“0”对应，“零”于是具有了“0”的含义。<ref name="说文解字">{{Cite web|title=零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网|url=https://www.cidianwang.com/shuowenjiezi/ling4242.htm|access-date=2022-05-30|archive-date=2018-11-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20181103155318/http://www.cidianwang.com/shuowenjiezi/ling4242.htm|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|title=零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网|url=https://www.cidianwang.com/kangxi/ling/ling6289.htm|access-date=2022-05-30}}</ref>

== 数学性质 ==
* 0是否属于[[自然数]]仍有争议，[[数论]]领域认为0不属于自然数，[[集合论]]和[[计算机科学]]领域认为0属于自然数。 国际标准{{tsl|en|ISO 31-11|ISO 31-11:1992}}中，从集合论角度规定：符号<math>\mathbb{N}</math>所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。
{{數字性質|use math=yes
|斐波那契數=*{{{orderstr}}}{{{property}}}。前一個、下一個與下兩個皆是[[1]]、前兩個是[[-1]]。
|0}}
* 0是個[[高斯整數]]。
* 0可被2[[整除]]，所以0是[[偶數]]。
* 分數中的分母不可以是0。
* 0非正非负，0的[[加法逆元|相反数]]和[[绝对值]]是其本身。
* 0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
* 0没有[[倒数]]和[[负倒数]]，任何數（包括0）[[除以零|除以0]]皆無意義。
* 0不能做[[对数]]的底。
* 0的正数次方等于0，0的负数次方是無意義。
* [[0的0次方]]目前是[[未定式]]，部分領域中，如[[組合數學]]，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。<ref>{{Cite journal |last=Knuth |first=Donald E. |title=Two notes on notation |url=https://arxiv.org/abs/math/9205211 |journal=American Mathematics Monthly |date=1992 |volume=99 |issue=5 |page=403-422 |arxiv=math/9205211 |doi=10.48550/ARXIV.MATH/9205211 |access-date=2026-01-12}}</ref>
* 0[[階乘]]（記作0!）定義為1。
* 0 為任何非零整數之[[倍數]]。
* 0作為[[序数]]一般僅出現於[[电子计算机|計算機]]領域。
* 0是[[斐波那契数列]]中，僅有的3個[[平方數]]之一（另外兩個是[[1]]與[[144]]）。<ref>{{cite web|author=JOHN H. E. COHN|title=〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉|url=https://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html|publisher=Bedford College, University of London, London, N.W.1.|archiveurl=https://archive.today/20120630214035/http://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html|archivedate=2012-06-30|quote=Theorem 3. If Fn = x2, then n = 0, ±1, 2 or 12.|access-date=2019-05-12|dead-url=no}}</ref>
* 0是唯一一個使得沒有[[复数 (数学)|複數w]]滿足[[e (數學常數)|e]]w = z的[[复数 (数学)|複數z]]。

=== 0的因數和倍數 ===
當<math>a \times b = c</math>（<math>a\,\!</math>、<math>b\,\!</math>、<math>c\,\!</math>為整數）時，定義<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>為<math>c\,\!</math>的[[因數]]，<math>c\,\!</math>為<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>的[[倍數]]。

:<math>\because a \times 0 = 0</math>（<math>a\,\!</math>為任何[[實數]]）
:<math>\therefore a</math>為0的因數，0為<math>a\,\!</math>的倍數，也就是說，任何整數都是0的因數。

另外，因为0不能作为任何数的因数，所以0没有倍数。

== 人类文化 ==
* 在[[計算機科學]]中，0經常用於表示[[布尔值]]'''假'''（'''F'''）。
* 在[[数字电路|数位电路]]中，不使用精确的[[电压]]值来代表[[信号 (信息论)|信号]]的值，只使用「0」和「1」两个值。「0」表示低于预先规定的[[阈值电压]]，被称为'''低电平'''或者'''逻辑0'''。与之对应，「[[1]]」表示高于预先规定的阈值电压，被称为'''高电平'''或者'''逻辑1'''。注意负逻辑时的规定相反，高电平为逻辑0。
*在[[電話]]網路中，國家代碼（國家或地區號）開始為00（兩個0），其下的地方區號（郡或市等地區代碼）開始為0（一個0）。
*数字0的使用使[[數學]]快速發展。
*[[0号线]]

== 參考來源 ==
;文献
{{clref|柯利弗德|2013|ref={{cite isbn|9789571356990|noedit}}}}

;引用
{{reflist|2}}

== 参见 ==
* [[-0]]
* [[除以零]]
* [[無]]
* [[從零開始的編號]]
* [[0的奇偶性]]
* {{Lookfrom}}
* {{Lookfrom|零}}

== 外部連結 ==
{{Commonscat|0 (number)}}
{{维基词典|0|零}}
*倪梁康：[http://www.aisixiang.com/data/26744.html 〈零與形而上學〉]{{Wayback|url=http://www.aisixiang.com/data/26744.html |date=20140715000527 }}（2009）
{{Nulls}}
{{Authority control}}
[[Category:0| ]]
[[Category:算术]]

0 - 版本历史

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