编辑“︁72法則”︁

{{Unreferenced|time=2022-11-16T08:30:05+00:00}}
{{NoteTA|G1=Economics}}
[[金融學]]上有所謂'''72法則'''、'''71法則'''、'''70法則'''和'''69.3法則'''，用作估計將投資倍增或減半所需的時間，反映出的是[[複利]]的結果。

計算所需時間時，把與所應用的法則相應的數字，[[除]]以預料增長率即可。例如：

*假設最初投資金額為100元，複息年利率9%，利用「72法則」，將72除以9（增長率），得8，即需約8年時間，投資金額滾存至200元（兩倍於100元），而準確需時為8.0432年。
*要估計[[貨幣]]的[[購買力]]減半所需時間，可把與所應用的法則相應的數字，除以[[通脹率]]。若通脹率為3.5%，應用「70法則」，每單位之貨幣的購買力減半的時間約為70/3.5=20年。

== 數值選擇 ==
使用72作為[[分子]]是因為它有較多[[因數]]，容易被整除。它的因數有1、2、3、4、6、8、9和12。不過，視乎增減率及時期，其他數值會較為合適。

=== 一般息率或年期的複利 ===
使用72作為分子足夠計算一般息率（由6至10%），但對於較高的息率，準確度會降低。

=== 低息率或逐日複利 ===
對於低息率或逐日複利，69.3會提供較準確的結果（因為[[ln2]]約莫等於69.3%，參見下面「原理」）。對於少過6%的計算，使用69.3也會較為準確。

=== 高息率計算的調整 ===
對於高息率，較大的分子會較理想，如若要計算20%，以76除之得3.8，與實際數值相差0.002，但以72除之得3.6，與實際值相差0.2。若息率大過10%，使用72的誤差介乎2.4%至−14.0%。若計算涉及較大息率（r），以作以下調整：

:<math> t = \frac{72 + (r - 8)/3}{r} </math>（近似值）

若計算逐日複息，則可作以下調整：
:<math> t = \frac{69.3147 + r/3}{r} </math>（近似值）

=== E-M法則 ===
E-M法則對使用69.3或70（但非72）時的計算作出修正，擴大計算的應用範圍。如在69.3法則使用E-M修正，計算0-20%的增減率時也會相當準確，就算69.3本來只適合計算0-5%的息率。

E-M法則公式如下：

:<math> t = \frac{69.3}{r} \times \frac{200}{200-r}</math>（近似值）

舉個例，若利率為18%，69.3法則得出的將金額倍增的年期為3.85，但通過E-M法則，乘以200/(200-18)，得4.23年，較接近實際年期4.19。

Padé近似式（[[帕德近似|Padé approximant]]）給出的結果更為準確，但算式則較為複雜：

:<math> t = \frac{69.3}{r} \times \frac{600+4r}{600+r}</math>（近似值）

=== 比較 ===
以下表格比較了以上提及各法則的計算結果：

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center" style="text-align:center"
! '''年息'''
! '''實際年期'''
! '''72法則'''
! '''70法則'''
! '''69.3法則'''
! '''E-M法則'''
|- 
| 0.25%
| 277.605
| 288.000
| 280.000
| 277.200
| 277.547
|- 
| 0.5%
| 138.976
| 144.000
| 140.000
| 138.600
| 138.947
|- 
| 1%
| 69.661
| 72.000
| 70.000
| 69.300
| 69.648
|- 
| 2%
| 35.003
| 36.000
| 35.000
| 34.650
| 35.000
|- 
| 3%
| 23.450
| 24.000
| 23.333
| 23.100
| 23.452
|- 
| 4%
| 17.673
| 18.000
| 17.500
| 17.325
| 17.679
|- 
| 5%
| 14.207
| 14.400
| 14.000
| 13.860
| 14.215
|- 
| 6%
| 11.896
| 12.000
| 11.667
| 11.550
| 11.907
|- 
| 7%
| 10.245
| 10.286
| 10.000
| 9.900
| 10.259
|- 
| 8%
| 9.006
| 9.000
| 8.750
| 8.663
| 9.023
|- 
| 9%
| 8.043
| 8.000
| 7.778
| 7.700
| 8.062
|- 
| 10%
| 7.273
| 7.200
| 7.000
| 6.930
| 7.295
|- 
| 11%
| 6.642
| 6.545
| 6.364
| 6.300
| 6.667
|- 
| 12%
| 6.116
| 6.000
| 5.833
| 5.775
| 6.144
|- 
| 15%
| 4.959
| 4.800
| 4.667
| 4.620
| 4.995
|- 
| 18%
| 4.188
| 4.000
| 3.889
| 3.850
| 4.231
|}

== 原理 ==
=== 定期複利 ===
定期複利的[[將來值]]（FV）為：

:<math> FV = PV \cdot (1+r)^t, </math>

當中''PV''為[[現在值]]、''t''為期數、''r''為每一期的利率。

當該筆投資倍增，則''FV'' = 2''PV''。代入上式後，可簡化為：

:<math> 2 = (1+r)^t.\, </math>

解方程式，''t''為：

:<math> t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}. </math>

若''r''數值較小，則ln(1+''r'')約等於''r''（這是[[泰勒级数]]的第一項）；加上ln(2) ≈ 0.693147，於是：

:<math> t \approx \frac{0.693147}{r}. </math>

=== 連續複利 ===
連續複利的計算較為簡單：

:<math>\ 2=(e^r)^t</math>

可得

:<math>\ tr=\ln(2)</math>

可得

:<math>t= \frac{\ln(2)}{r} = \frac{0.693147}{r}.</math>

右項上下乘以100，然後以70作為69.3147的近似值：

:<math>t= \frac{70}{100r}</math>

[[Category:经验法则]]
[[Category:債務]]
[[Category:指数]]
[[Category:利息]]
[[Category:金融数学]]