编辑“︁分數”︁

{{NoteTA|G1=Math}}
{{About|數學概念的分數|其他領域的分數|得分}}
{{Numbers}}
[[File:Cake quarters.svg|thumb|取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。]]

'''分數'''（{{langx|en|fraction}}）是用分式（分數式）表達成<math>\frac{a}{b}</math>的数（<math>a, b \in Z, b\neq 0</math>）。在上式之中，<math>b</math>稱為'''分母'''（denominator）而<math>a</math>稱為'''分子'''（numerator）<ref name=":0">{{Cite web|title=Mixed Fractions|url=https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|accessdate=2019-07-10|work=www.mathsisfun.com|archive-date=2020-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201127013703/https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|dead-url=no}}</ref>，可視為某件事物平均分成<math>b</math>份中佔<math>a</math>份，讀作「<math>b</math>分之<math>a</math>」。中間的線稱為'''分線'''或'''分数线'''。有時人們會用<math>a/b</math>來表示分數。

== 用法 ==
分數有各種不同的用法與意義：

* 兩個整數的[[比例]]：<math>\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)</math>，這是兩個數量的比較關係。
* [[有理數]]：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
* 整數[[除法]]：<math>\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)</math>，結果會是一個[[整數]]、[[有限小數]]或[[循環小數]]。
* 等分：<math>\frac{1}{3}</math>表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為[[單位分數]]（unit fraction），參見[[古埃及分數]]。<math>\frac{1}{3}</math>也就是<math>3</math>這個整數的[[倒數]]。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

== 分類 ==
; [[最簡分數]]（既约分数）（irreducible fraction）:分子是整數，分母是正整數，且分子和分母[[互質]]的分數。例如：<math>\frac{4}{~{}15~{}}</math>
; [[真分數]]（proper fraction）:除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：<math>\frac{3}{~{}7~{}}</math>
; [[假分數]]（top-heavy/improper fraction）:假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：<math>\frac{5}{~{}3~{}}</math>和<math>\frac{8}{~{}8~{}}</math>
; [[帶分數]]（'''mixed numeral、m'''ixed fraction、mixed number<ref name=":0" />）:一個整數（whole number）加一個真分數，例如<math>a \frac{b}{c}</math>，讀作「a又c分之b」；又例如<math>1 \frac{1}{~{}2~{}}</math>，就是一又二分之一。可寫成假分數，與<math>\frac{~{}( a \times c ) + b~{}}{c}</math>等價。
; '''十進位分數'''（decimal fraction）: 分母為<math>10</math>的次方的分數稱為'''十進位分數'''，通常使用[[小數]]的形式來表達，例如，<math>\frac{1}{100}</math>一般记为<math>0.01</math>，也可以[[百分率]]簡記為<math>1\%</math>，或是以<math>10</math>的[[冪]]記為<math>10^{-2}</math>。
; [[單位分數]]:分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的[[倒數]]。例如：<math>\frac{1}{~{}99~{}}</math>
; [[古埃及分數]]（Egyptian fraction）:將分數表達成單位分數之和。例如：<math>\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}</math>
; [[繁分數]]:分子和/或分母包含了分數的分數，例如<math>\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}</math>。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于<math>\frac{ad}{~{}bc~{}}</math>。
; [[連分數]]:外觀如<math>x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} </math>的分數，其中<math>a_i</math>是整數。若只有有限個<math>a_i</math>非零，則連分數是一個分數。

== 分數運算 ==
分數如[[自然數]]般，跟從[[交換律|互聯律]]、[[結合律]]、[[分配律]]和反[[除以零]]的規則。

=== 約分、擴分及通分 ===
一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

==== 约分 ====
'''約分'''（reduction of a fraction）是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。汉语“约”则是简化估量的意思。

約分後的分數和原來分數的值相等。<math> \frac{3}{6}=\frac {1}{2}</math>

前面的數字的分子和分母皆除以三

==== 擴分 ====
'''擴分'''（expansion of a fraction）是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。<math> \frac {1}{2}=\frac{2}{4}</math>

前面的數字的分子和分母皆乘以二

==== 通分 ====
'''通分'''（reduction of fractions to a common denominator）是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

=== 加法及減法 ===
筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的[[最小公倍數]]作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：
*<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math>
*<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}</math>

=== 乘法及除法 ===
分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的[[逆函数|逆函數]]，故此計算時一般將被除數化成其[[倒數]]，把除法改為乘法較為方便。例如：
:<math>\quad \frac{1}{5} \div  \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7  \times \frac{1}{7} )</math>
:<math>= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} =  \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}</math>

== 相關話題 ==
* [[有理數]]
* [[倒數]]
* [[除以零]]
* [[法里數列]]
* [[連分數]]
* [[分母有理化]]
* [[偶然對消]]

==参考文献==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
{{commons category|Fractions}}
{{Wiktionary|denominator}}
{{Wiktionary|numerator}}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=The Online Encyclopaedia of Mathematics |title=Fraction, arithmetical |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction |access-date=2015-06-03 |archive-date=2014-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021043927/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction |dead-url=no }}
* {{MathWorld|Fraction|Fraction}}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=Encyclopedia Britannica |title=Fraction |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/215508/fraction |access-date=2015-06-03 |archive-date=2015-04-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150426150849/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/215508/fraction |dead-url=no }}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=Citizendium |title=Fraction (mathematics) |url=https://en.citizendium.org/wiki/Fraction_(mathematics) |access-date=2015-06-03 |archive-date=2020-11-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201107062956/https://en.citizendium.org/wiki/Fraction_(mathematics) |dead-url=no }}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=PlanetMath |title=Fraction |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Fraction.html |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111011215017/http://planetmath.org/encyclopedia/Fraction.html |archivedate=2011-10-11 |access-date=2015-06-03 }}
* [https://web.archive.org/web/20150317233017/http://dl5jaf.darc.de/math/rationotation/ Online program] for exact conversion between fractions and decimals
* [https://web.archive.org/web/20150801171058/http://fractions-calculator.net/ Online Fractions Calculator] with detailed solution
* [http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction Fraction Practice] {{Wayback|url=http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction |date=20200927100803 }} endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.
{{Fractions and ratios}}

{{Authority control}}

[[Category:實數]]
[[Category:分数]]
[[Category:除法]]