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=== 實分析 ===
==== 无穷级数和数列 ====
对于任何一个小数，都可以定义为[[无穷级数]]的和。一般地：
:<math>b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1 ({\tfrac{1}{10}}) + b_2 ({\tfrac{1}{10}}) ^2 + b_3 ({\tfrac{1}{10}}) ^3 + b_4 ({\tfrac{1}{10}}) ^4 + \cdots</math>.

对於0.999…来说，这时可以使用[[等比数列|等比级数]]的[[级数|收敛]]定理：<ref>Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706</ref>
:如果<math>|r| < 1</math>，则<math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}</math>.

由於0.999…是公比为<math>r=\textstyle\frac{1}{10}</math>的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：
:<math>0.999\ldots = 9 (\tfrac{1}{10}) + 9 ({\tfrac{1}{10}}) ^2 + 9 ({\tfrac{1}{10}}) ^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1</math>，
这个证明（实际上是10等於9.999…）早在1770年就在[[瑞士]]数学家[[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·欧拉]]的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。<ref>Euler p.170</ref>

[[File:base4 333.svg|left|thumb|200px|'''四进制'''的小数数列（0.3，0.33，0.333，……）收敛於1。]]
等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似於以上的[[#代数|代数证明]]。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》（《代数的介绍》）依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999…使用的策略是正当的。<ref>Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177</ref>在19世纪，这种在當時被以為随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现在仍然占有支配地位的定义：一个级数的和'''定义'''为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。<ref>例如，J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31</ref>

对於数列（''x''<sub>0</sub>，''x''<sub>1</sub>，''x''<sub>2</sub>，…）来说，如果当''n''增大时，距离|''x'' − ''x''<sub>''n''</sub>|变得任意地小，那么这个数列就具有[[收斂數列|极限]]''x''。0.999… = 1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：
:<math>0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left (1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math><ref>这个极限可以由Rudin p. 57的Theorem 3.20e得出。对於一个更加直接的方法，请参见Finney, Weir, Giordano（2001）''Thomas' Calculus: Early Transcendentals'' 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2 (a) , example 6(b).</ref>

最后一个步骤—lim <sup>1</sup>/<sub>10<sup>''n''</sup></sub> = 0—通常由实数擁有[[阿基米德公理|阿基米德性質]]這一原理来證明。这个以极限为基础的对0.999…的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等於1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近於1”（.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有：“…如果有非常多的9，那么1和0.99999…的差就小得难以想像了”（“…when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999…becomes inconceivably small”）。<ref>Davies p.175; Smith and Harrington p.115</ref>这种[[启发法|启发]]式的教学法，常常被学生们误解为0.999…本身就小於1。

==== 区间套和最小上界 ====
{{參見|区间套}}
[[File:999 Intervals C.svg|thumb|250px|区间套：在三进制中，1 = 1.000… = 0.222…]]
以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对於一个给定的实数，定义一个相关的小数展开式。

如果知道一个实数''x''位於[[闭区间]][0, 10]内（也就是说，这个实数大於或等於0，而小於或等於10），这时就可以想像把这个区间分成十个部分，只在终点处相重叠：[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]，依此类推，直到[9, 10]。实数''x''一定是属於这十个区间的一个；如果它属於[2, 3]，这时就把数字“2”记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、…、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]。把这个过程一直继续下去，这时便得到了一个无穷的[[区间套]]序列，由无穷个数字''b''<sub>0</sub>、''b''<sub>1</sub>、''b''<sub>2</sub>、''b''<sub>3</sub>、…来标示，并记
:''x'' = ''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>…

在这种形式中，1 = 1.000…而且1 = 0.999…的事实，反映了1既位於[0, 1]，又位於[1, 2]，所以这时在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用“=”号，这时需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。<ref>Beals p.22; I. Stewart p.34</ref>

一个简单的选择，是[[区间套定理]]，它保证只要给出了一个长度趋近於零的闭区间套序列，那么这些区间套的[[交集]]就正好是一个实数。这样，''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>…便定义为包含在所有的区间[''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub> + 1]、[''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub> + 0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999…就是位於所有的区间[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.99…9, 1]（对於任意有限个9）的唯一的实数。由於1是所有这些区间的公共元素，因此0.999… = 1。<ref>Bartle and Sherbert pp.60–62; Pedrick p.29; Sohrab p.46</ref>

区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：[[最小上界]]的存在。为了直接利用这些事物，这时可以把''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>…定义为集合{''b''<sub>0</sub>，''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>，''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>，…}的最小上界。<ref>Apostol pp.9, 11–12; Beals p.22; Rosenlicht p.27</ref>然后这时就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，再一次证明了0.999… = 1。[[汤姆·阿波斯托尔]]得出结论：
{{Cquote|一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。<br />(The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.) <ref>Apostol p.12</ref>}}