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==性质==
通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下的<math>\mathcal{I}</math>在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
===线性===
积分是线性的。如果一个函数<math>f</math>可积，那么它乘以一个常数後仍然可积。如果函数<math>f</math>和<math>g</math>可积，那么它们的和与差也可积。
:<math> \int_{\mathcal{I}} (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_ {\mathcal{I}}  f  + \beta \int_ {\mathcal{I}}  g \,</math>
所有在<math>\mathcal{I}</math>上可积的函数构成了一个[[线性空间]]。黎曼积分的意义上，所有区间[''a'', ''b'']上黎曼可积的函数<math>f</math>和<math>g</math>都满足：
:<math> \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, \mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int_a^b g(x) \, \mathrm{d}x. \,</math>
所有在可测集合<math>\mathcal{I}</math>上勒贝格可积的函数<math>f</math>和<math>g</math>都满足：
:<math> \int_{\mathcal{I}} (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d}\mu = \alpha \int_{\mathcal{I}} f \, \mathrm{d}\mu + \beta \int_{\mathcal{I}} g \, \mathrm{d}\mu. </math>

在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数<math>f</math>在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>，有
:<math> \int_{a}^c f(x) \, \mathrm{d}x =  \int_{a}^b f(x) \, \mathrm{d}x  +\int_{b}^c f(x) \, \mathrm{d}x \,</math>
如果函数<math>f</math>在两个不相交的可测集<math>\mathcal{I}</math>和<math>\mathcal{J}</math>上勒贝格可积，那么
:<math> \int_{\mathcal{I}\cup  \mathcal{J} } f \, \mathrm{d}\mu = \int_{\mathcal{I}} f \, \mathrm{d}\mu + \int_{\mathcal{J}} f\, \mathrm{d}\mu. </math>

如果函数<math>f</math>勒贝格可积，那么对任意<math>\epsilon > 0</math>，都存在<math>\delta</math>，使得<math>\mathcal{F}</math>中任意的元素<math>A</math>，只要<math>\mu (A) < \delta</math>，就有<math>\int_{A} \left| f  \right| \, \mathrm{d}\mu < \epsilon  </math>

===保号性===
如果一个函数<math>f</math>在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果<math>f</math>勒贝格可积并且[[几乎处处|几乎总是]]大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个<math>\mathcal{I}</math>上的可积函数<math>f</math>和<math>g</math>相比， <math>f</math>（几乎）总是小于等于<math>g</math>，那么<math>f</math>的（勒贝格）积分也小于等于<math>g</math>的（勒贝格）积分。

如果黎曼可积的非负函数<math>f</math>在<math>\mathcal{I}</math>上的积分等于0，那么除了有限个点以外，<math>f = 0</math>。如果勒贝格可积的非负函数<math>f</math>在<math>\mathcal{I}</math>上的积分等于0，那么<math>f</math>几乎处处为0。如果<math>\mathcal{F}</math>中元素<math>A</math>的测度<math>\mu (A)</math>等于0，那么任何可积函数在<math>A</math>上的积分等于0。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对<math>\mathcal{F}</math>中任意元素<math>A</math>，可积函数<math>f</math>在<math>A</math>上的积分总等于（大于等于）可积函数<math>g</math>在<math>A</math>上的积分，那么<math>f</math>几乎处处等于（大于等于）<math>g</math>。

===介值性质===
如果<math>f</math>在<math>\mathcal{I}</math>上可积， <math>M</math>和<math>m</math>分别是<math>f</math>在<math>\mathcal{I}</math>上的最大值和最小值，那么：
:<math>m L(\mathcal{I}) \leqslant \int_ {\mathcal{I}}  f  \leqslant  M L(\mathcal{I}) </math> 
其中的<math> L(\mathcal{I}) </math>在黎曼积分中表示区间<math>\mathcal{I}</math>的长度，在勒贝格积分中表示<math>\mathcal{I}</math>的测度。

===绝对连续性===
积分的绝对连续性表明，如果函数在某区间或集合上可积，那么当积分区域是近乎全区域的时候，积分的值也会逼近在全区域上的积分值。如果函数<math>f</math>在某区间<math>\mathcal{I}</math>上黎曼可积，那么对于满足<math>\mathcal{I}_n \subset \mathcal{I}_{n+1} </math>，<math>\lim_{n \to \infty} \mathcal{I}_n = \mathcal{I}</math>的区间序列<math>\left(\mathcal{I}_n \right)_{n \in \mathbb{N}}</math>，有
:<math>\lim_{n \to \infty} \int_{\mathcal{I}_n} f(x) \, \mathrm{d}x =  \int_{\mathcal{I}} f(x) \, \mathrm{d}x  </math>

===积分不等式===
涉及积分的基本不等式可以看作是一些离散不等式的类比。如[[柯西不等式]]的积分版本：假如有函数<math>f</math>和<math>g</math>使得<math>fg</math>、<math>f^2</math>、<math>g^2</math>都在区间<math>\mathcal{I}</math>上黎曼可积，那么
: <math>\left( \int_{\mathcal{I}} (fg)(x) \, \mathrm{d}x \right)^2 \leq \left( \int_{\mathcal{I}} f(x)^2 \, \mathrm{d}x \right) \left( \int_{\mathcal{I}} g(x)^2 \, \mathrm{d}x \right). </math>
而更广泛的[[赫尔德不等式]]也有积分版本。设有正实数<math>p</math>和<math>q</math>，其倒数和为1：<math>\frac1p + \frac1q = 1</math>，则对黎曼可积函数<math>f</math>和<math>g</math>，有以下不等关系（在下式各项有意义的时候）：
:<math>\left|\int f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\right| \leqslant
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{q}}.</math>
可以看出柯西不等式是赫尔德不等式在<math>p = q = 2</math>的时候的特例。

此外[[闵可夫斯基不等式]]也有积分版本。设有正实数<math>p \geqslant 1</math>，则对黎曼可积函数<math>f</math>和<math>g</math>，有以下不等关系：
:<math>\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}\leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p} } +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}.</math>

对于勒贝格可积的函数，类似的不等式可以帮助构建[[Lp空间|<math>L^p</math>空间]]。

一个函数<math>f</math>可积当且仅当函数<math>|f|</math>可积，并且<math>f</math>的积分的绝对值，小于等于其绝对值的积分：<math> \left| \int_ {\mathcal{I}}  f \right| \leqslant \int_{\mathcal{I}}|f|</math>。如果函数<math>f</math>勒贝格可积，那么<math>|f|</math>几乎处处有限。