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===多项式插值===
[[File:Interpolation example polynomial.svg|right|thumb|230px|对数据使用多项式插值得到的图像]]
{{Main|多项式插值}}
[[多項式]]插值是線性插值的推廣。線性插值是一個[[線性|線性函數]]。我們現在用一個更高階的多項式代替這個插值。
再考慮一下上面給出的問題。以下的六次多項式經歷了所有七個點：
:<math> f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x. </math>
<!-- Coefficients are 0, 0.903803333333334, 0.22549749999997, -0.35772291666664, 0.07321458333332, -0.00313041666667, -0.00015208333333. -->
代入 ''x'' = 2.5，我們發現 ''f''(2.5) = 0.5965。
一般情況下，如果我們有 n 個數據點，那麼在所有的數據點中只有一個最多 n-1 次多項式。插值誤差與數據點與冪次 n 之間的距離成正比。此外，插值是一個多項式，因此是無限可微的。所以我們看到多項式插值克服了線性插值的大部分問題。但是，多項式插值也有一些缺點。與線性內插相比，計算內插多項式的成本是昂貴的（參見[[計算複雜性理論|計算複雜度]]）。此外，多項式插值可能會出現振盪偽像，特別是在端點（見[[龍格現象]]）。

與線性插值不同，多項式插值可以估計樣本範圍之外的局部最大值和最小值。例如，上面的插值在 ''x'' ≈ 1.566 處有一個局部最大值，''f''(''x'') ≈ 1.003，在 ''x'' ≈ 4.708 處有一個局部最小值，''f''(''x'') ≈ −1.003。然而，這些最大值和最小值可能會超出函數的理論範圍 - 例如，一個總是正的函數可能有一個負值的插值，因此它的逆值包含假[[除以零|垂直漸近線]]。

更一般地說，所得曲線的形狀，特別是對於獨立變量的非常高或低的值，可能與常識相反，即與已經產生數據點的實驗系統已知的情況相反。通過使用樣條插值或限制對[[切比雪夫多项式]]的注意可以減少這些缺點。