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== 离散卷积 ==
[[File:Konvolutsioon.png|thumb|right|200px|离散卷积示意图]]
对于定义在整數<math>\mathbb{Z}</math>上且得出[[复数 (数学)|复数]]值的函数<math>f[n]</math>和<math>g[n]</math>，离散卷积定义为<ref>{{harvnb|Damelin|Miller|2011|p=219}}</ref>：
:<math>(f  * g)[n]\ \ \triangleq \ \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f[m] g[n-m]} = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m]\, g[m]</math>
這裡一樣把函數定義域以外的值當成零，所以可以擴展函數到所有整數上（如果本來不是的話）。两个有限序列的卷积的定义，是将这些序列扩展成在整数集合上有限支撑的函数。在这些序列是两个[[多项式]]的系数之时，这两个多项式的普通乘积的系数，就是这两个序列的卷积。这叫做序列系数的[[柯西乘积]]。

當<math> g[n] </math>的[[支撐集]]為有限長度的<math>\{-M,-M+1,\dots,M-1,M\}</math>之时，上式會變成有限[[求和符号|求和]]：
:<math>(f*g)[n]=\sum_{m=-M}^M f[n-m]g[m]</math>

===多维离散卷积===
{{main|{{le|多维离散卷积|Multidimensional discrete convolution}}}}
[[File:2D Convolution Animation.gif|thumb|right|390px|用离散二维卷积对[[数字图像|图像]]进行{{le|核 (图像处理)|Kernel (image processing)|锐化}}[[图像处理|处理]]的动画]]
类似于一维情况，使用[[星号]]表示卷积，而维度体现在星号的数量上，<math>M</math>维卷积就写为<math>M</math>个星号。下面是<math>M</math>维信号的卷积的表示法：

:<math>y(n_1,n_2,...,n_{_M})=h(n_1,n_2,...,n_{_M})* \overset{M}{\cdots}  *x(n_1,n_2,...,n_{_M})</math>

对于离散值的信号，这个卷积可以直接如下这样计算：

:<math>\sum_{k_1=-\infty}^{\infty} \sum_{k_2=-\infty}^{\infty}...\sum_{k_{_M}=-\infty}^{\infty} h(k_1,k_2,...,k_{_M})x(n_1-k_1,n_2-k_2,...,n_{_M}-k_{_M})</math>

结果的离散多维卷积所支撑的输出区域，基于两个输入信号所支撑的大小和区域来决定。
:[[File:Picture1_wiki.png|thumb|600px|none|在两个二维信号之间的卷积的可视化]]

===离散周期卷积===
[[File:Aperiodisch periodische Faltung.svg|thumb|right|390px|对比离散无周期卷积（左列）与离散圆周卷积（右列）]]
对于离散序列和一个参数<math>N</math>，无周期函数<math>h</math>和<math>x</math>的“周期卷积”是为：
:<math>(h * x_{_N})[n] \ \triangleq \ \sum_{m=-\infty}^\infty  h[m] \underbrace{x_{_N}[n-m]}_{\sum_{k=-\infty}^\infty x[n -m -kN]} \ = \ \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^\infty {h}[m - kN]\right) x_{_N}[n - m]</math>

这个函数有周期<math>N</math>，它有最多<math>N</math>个唯一性的值。<math>h</math>和<math>x</math>的非零范围都是<math>[0, N-1]</math>的特殊情况叫做[[圆周卷积]]：
:<math>(h * x_{_N})[n] = \sum_{m=0}^{N-1} h[m] x_{_N}[n - m] = \sum_{m=0}^{N-1} h[m] x[(n - m)_\bmod{N}]</math>
离散圆周卷积可简约为[[矩阵乘法]]，这里的[[积分变换]]的核函数是[[循环矩阵]]:
:<math> \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_{_{N-1}}\end{bmatrix} =
         \begin{bmatrix}
         h_0     &  h_{_{N-1}} & \cdots &  h_{1} \\
         h_1     &  h_0     & \cdots &  h_2   \\
         \vdots  & \vdots   & \ddots & \vdots    \\
         h_{_{N-1}} & h_{_{N-2}} & \cdots &  h_{0}
         \end{bmatrix} 
         \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{_{N-1}}\end{bmatrix}
 </math>
圆周卷积最经常出现的[[快速傅里叶变换]]的实现算法比如[[雷德演算法]]之中。