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===勒贝格积分===
{{main|勒贝格积分}}

勒贝格积分的出现源于[[概率论]]等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为[[广义化]]的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对[[初等函数]]和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到[[测度空间]]裡。{{r|rgb|page1=Intro.2-3}}

勒贝格积分的概念定义在[[测度]]的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间 <math>A = [a, b]</math> 的勒贝格测度<math>\mu(A)</math> 是区间的右端值减去左端值， <math>b-a</math>。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。{{r|rgb|page1=Intro.3}}

给定一个集合<math>\Omega</math>上的<math>\sigma -</math>代数<math>\mathcal{F}</math>以及<math>\mathcal{F}</math>上的一个测度<math>\mu</math>，那么对于<math>\mathcal{F}</math>中的一个元素<math>A \subset \Omega</math>，定义[[指示函数]]<math>1_{A}</math>关于测度<math>\mu</math>的积分为：
[[File:RandLintegrals.svg|right|thumb|300px|黎曼积分（蓝色）和勒贝格积分（红色）]]  
:<math>\int 1_A \,\mathrm{d}\mu = \mu(A)</math>
再定义可测的非负'''[[简单函数]]'''<math>f = \sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}</math>（其中 <math>A_i \in  \mathcal{F}, \, \, a_i \geqslant 0</math>）的积分为：

:<math> \int f \,\mathrm{d}\mu = \int \left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) \,\mathrm{d}\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \,\mathrm{d}\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i)
</math>{{r|rgb|page1=28}}
对于一般的函数<math>f :  \Omega \rightarrow \mathbb{R} </math>，如果对每个区间<math>(a, b]</math>，都满足 <math>f^{-1}\left( (a, b] \right) \in \mathcal{F}</math>，那么测度论中定义<math>f </math>是可测函数。对于一个'''非负的可测函数'''<math>f </math>，它的积分定义为：
:<math> \int f \,\mathrm{d}\mu = \sup \bigg\{ g, \quad g</math>为简单函数，并且<math>f - g</math>恒大于零<math>. \,\bigg\} </math>{{r|rgb|page1=30}}
这个积分可以用以下的方式逼近：
:<math> \int f \,\mathrm{d}\mu 
=  \lim_{n \to +\infty}\left[ \sum_{k = 0}^{n 2^n - 1} \frac{k}{2^n} \mu \left(\frac{k}{2^n} \leqslant f < \frac{k+1}{2^n} \right) + n\mu (f \geqslant n) \right]  
=  \lim_{n \to +\infty}\left[ \frac{1}{2^n} \sum_{k = 0}^{n 2^n - 1} \mu \left(\frac{k}{2^n} \leqslant f \right) \right]  </math>{{r|jhbn|page1=344}} 
直观上，这种逼近方式是将<math>f</math>的值域分割成等宽的区段，再考察每段的“长度”，用其测度表示，再乘以区段所在的高度。其覆盖之处如右图中的红色区域所示。佛兰德（{{lang|en|Folland}}）<ref>Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56.</ref>总结说，“黎曼积分是把定义域区间 <math>[a,b]</math> 划分为子区间”，而勒贝格积分则是“划分<math>f</math>的值域”。

至于一般的（有正有负的）'''可测函数'''<math>f</math>，它的积分是函数曲线在x轴上方“围出”的面积，减去曲线在x轴下方“围出”的面积。严格定义需要引进“正部函数”和“负部函数”的概念：
:<math> f^+ :  </math> 如果<math>f(x)\geqslant 0,</math> 则<math> f^+ (x) = f(x),</math> 否则<math> f^+ (x) = 0.</math>
:<math> f^- :  </math> 如果<math>f(x)\leqslant 0,</math> 则<math> f^- (x) = -f(x),</math> 否则<math> f^- (x) = 0.</math> 
可以验证，总有<math> f(x) = f^+ (x) - f^-(x).</math> 而<math>f</math>的积分定义为：<math> \int f \,\mathrm{d}\mu =  \int  f^+  \,\mathrm{d}\mu - \int f^- \,\mathrm{d}\mu </math>{{r|rgb|jhbn|page1=41-42|page2=345}}

以上定义有意义仅当<math>\int  f^+  \,\mathrm{d}\mu</math>和<math> \int f^- \,\mathrm{d}\mu</math>中至少有一个的值是有限的（否则会出现无穷大减无穷大的情况），这时称<math>f</math>的勒贝格'''积分存在'''或'''积分有意义'''。如果<math>\int  f^+  \,\mathrm{d}\mu</math>和<math> \int f^- \,\mathrm{d}\mu</math>都是有限的，那么称<math>f</math>'''可积'''。{{r|rgb|jhbn|page1=42-45|page2=345}}

给定一个可测集合<math>A</math>，可以定义可积函数在<math>A</math>上的积分为：
:<math>\int_A  f  \,\mathrm{d}\mu = \int f 1_{A}  \,\mathrm{d}\mu .</math>{{r|jhbn|page1=345}}