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=== 邏輯公理 ===

在一個語言中存在著某些普遍有效的公式，亦即被每個[[賦值|變數賦值函數]]的每個結構所滿足的公式。口語上來說，是存在著在任一可能的論域、可能的[[解釋 (邏輯)|解釋]]和賦值上都是「正確」的陳述。通常將邏輯公理視為能充分證明所有此語言中[[恆真式|重言式]]的一套「最小」的重言式；在[[謂詞邏輯]]中有更多的邏輯公理是需要的，為了證明那些在嚴格意義上不是重言式的邏輯事實。

==== 例子 ====

===== 命題邏輯 =====
在[[命題邏輯]]裡，一般將邏輯公理視為所有如下形式的公式，其中的<math>\phi</math>、<math>\psi</math>和<math>\chi</math>可以是語言中的任何公式，且包含的[[邏輯運算符]]只有[[邏輯非]]<math>\neg</math>和[[蘊涵]]<math>\to</math>兩種：

# <math>\phi \to (\psi \to \phi)</math>
# <math>(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))</math>
# <math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)</math>。

上面的每個形式都是一個「[[公理模式]]」，是用來產生無限多公理的規則。例如，若''A''、''B''和''C''是[[命題變數]]，則<math>A \to (B \to A)</math>和<math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math>都會是公理模式1.的例子，因此都會是公理。可以證明只要有這三個公理模式和「[[肯定前件]]」，即可證明出所有命題演算中的重言式。也可證明只以其中的一對模式是無法和「肯定前件」一起充分證明出所有的重言式的。

其他包含著相同或不同邏輯運算符的公理模式也可以另行建構出來。

這些公理模式也被使用於[[謂詞邏輯]]裡，但需要附加上其他邏輯公理，藉以討論包含了量詞的命題。

===== 一階邏輯 =====
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;">
'''等於公理'''   令<math>\mathfrak{L}\,</math>為[[一階語言]]。對每個變數<math>x\,</math>而言，公式

<center>
<math>x = x</math>，
</center>

是普遍有效的。
</div>

這表示，對於任一變數<math>x\,</math>，公式<math>x = x\,</math>可被視為是一個公理。而且，在這例子裡，為了不落入含糊不清及一連串永不終止的「原始概念」之中，要不就是將<math>x = x\,</math>的精確概念給先建立完全，要不就是得規範符號<math>=\,</math>純形式及語法的用法，只視之為一個字串，且只是由符號組成的字串。[[數理邏輯]]確實就是這麼做的。

<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;">

'''全稱例化公理模式''' 給定一在一階語言<math>\mathfrak{L}\,</math>中的公式<math>\phi\,</math>、一變數<math>x\,</math>和一[[一阶逻辑#語法|項]]<math>t\,</math>，公式

<center>
<math>\forall x \phi \to \phi^x_t</math>
</center>

是普遍有效的。
</div>

其中<math>\phi^x_t</math>代表以項<math>t\,</math>來[[一阶逻辑#量词公理|代換]]<math>\phi\,</math>中的<math>x\,</math>後所得到的公式。較不严谨地，這個例子允許我們如此陳述，若知道一特定性質<math>P\,</math>對每個<math>x\,</math>皆成立，且<math>t\,</math>代表著此結構內的一特定物件，則應可主張<math>P(t)\,</math>是對的。

<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;">
'''存在推廣公理模式''' 給定一在一階語言<math>\mathfrak{L}\,</math>中的公式<math>\phi\,</math>、一變數<math>x\,</math>和一項<math>t\,</math>，公式

<center>
<math>\phi^x_t \to \exists x \phi</math>
</center>

是普遍有效的。
</div>