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== 涉及矛盾的悖论 ==
{{see also|爆炸原理}}
矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在[[一阶谓词演算]]中从矛盾中可以推导出'''任何'''[[命题]]（也叫陈述）。换句话说，依据谓词演算，不管P和Q意味着什么，如果P和¬P都为真的，则Q为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑[[爆炸原理|爆炸]]"。

例如，下列论证是严格[[有效性|有效]]，就是说前提在逻辑上蕴涵结论：

#前提: 5既是[[偶数]]又是[[奇数]]。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。
#结论：神存在。（就是Q）。

下面的论证也是有效的：

#前提: 5既是偶数又是奇数。（就是P ∧ ¬P）。
#结论：神不存在。（就是¬Q）。

注意这两个论证共有的前提是错误的；5是奇数而不是偶数。所以此等论证都不是[[可靠性|可靠]]，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的，如果5既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。

=== 这个悖论的证明 ===

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的[[真值表]]定义：

# (P ∧ ¬P)为假。
#所以，(P ∧ ¬P) → Q为[[空虚真理]]。

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷：

#假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出：
## P（[[合取除去]]）
## ¬P（[[合取除去]]）
##假设¬Q。基于这个假定我们可以推导出：
### P (前面的结果)
##所以¬Q → P（[[条件证明]]）
## ¬P → Q（前面一行的[[逆反命题]]）
## Q（[[肯定前件]]）
#所以 (P ∧ ¬P) → Q（[[条件证明]]）