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=== 导数、导函数与微分算子 ===
{{main|微分算子}}
若函数 <math>\;f(x)\;</math> 在其定义域包含的某[[区间]] <math>\;I\;</math> 内每一个点都可导，那么也可以说函数<math>\;f(x)\;</math> 在[[区间]] <math>\;I\;</math> 内可导，这时对于 <math>\;I\;</math> 内每一个确定的<math>\;x\;</math> 值，都对应着 <math>\;f\;</math> 的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数<math>x \mapsto f'(x)</math>，这个函数称作原来函数 <math>\;f(x)\;</math> 的'''导函数'''{{r|qhfx|page=155}}，记作：<math>\;y'\;</math>、<math>f'(x)\;</math> 或者 <math>\tfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)</math>。值得注意的是，导数是一个数，是指函数 <math>f(x)\;</math> 在点 <math>x_0\;</math> 处导函数的[[函数值]]。但在不至于混淆的情况下，通常也可以说导函数为导数。

由于对每一个可导的函数 <math>\;f(x)\;</math>，都有它的导函数 <math>f'(x)\;</math> 存在，我们还可以定义将函数映射到其导函数的[[算子]]。这个算子称为微分算子，一般记作 <math>D</math> 或 <math>\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math><ref>{{cite book | title = 《线性代数》|author =朝嵩金, 正敏段, 汉明王 | publisher =清华大学出版社 | year =2006 | isbn =7-302-12350-0 }}</ref>。例如：
:<math>\begin{align}
 D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0)\\
 D(x \mapsto x) &= (x \mapsto 1)\\
 D(x \mapsto x^2) &= (x \mapsto 2\cdot x)
\end{align}</math>
由于微分算子的输出值仍然是函数，可以继续求出它在某一点的取值。比如说对于函数 <math>\;f(x)=x^2\;</math>，
:<math> D(f) = (x \mapsto 2 \cdot x)</math>
所以<math>D(f)(x) = 2x</math>，<math>D(f)(1.4) = 2 \times 1.4 = 2.8 </math>。