编辑“︁子集”︁（章节）

== 性质 ==
[[File:Subset-2.png|thumb|A是B的子集。]]
'''命题1'''：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：'''包含'''是一种[[偏序关系]]。

'''命题2'''：若<math>A,B,C</math>是集合，则：

:[[自反关系|自反性]]：
::*<math>A\subseteq A</math>

:[[反对称关系|反对称性]]：
::*若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A</math>，则<math>A=B</math>

:[[传递关系|传递性]]：
::*若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq C</math>，则<math>A\subseteq C</math>

这个命题说明：对任意集合<math>S</math>，''<math>S</math>''的[[幂集]]按包含排序是一个[[有界格]]，与上述命题相结合，则它是一个[[布尔代数]]。

'''命题3'''：若<math>A,B,C</math>是集合''<math>S</math>''的子集，则：

:存在一个[[最小元]]和一个[[最大元]]：
::*<math>\varnothing\subseteq A\subseteq S</math>（<math>\varnothing\subseteq A</math>由命題1給出）

:存在[[并运算]]：
::*<math>A\subseteq A\cup B</math>
::*若<math>A\subseteq C</math>且<math>B\subseteq C</math>，则<math>A\cup B\subseteq C</math>

:存在[[交运算]]：
::*<math>A\cap B\subseteq A</math>
::*若<math>C\subseteq A</math>且<math>C\subseteq B</math>，则<math>C\subseteq A\cap B</math>

'''命题4'''：对任意两个集合<math>A</math>和<math>B</math>，下列表述等价：

:*<math>A\subseteq B</math>
:*<math>A\cap B=A</math>
:*<math>A\cup B=B</math>
:*<math>A-B=\varnothing</math>
:*<math>B'\subseteq A'</math>

这个命题说明：表述"<math>A\subseteq B</math>"，和其他使用[[并集]]，[[交集]]和[[补集]]的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。