编辑“︁Perlin噪声”︁（章节）

=== 经典Perlin噪声 ===

Perlin在上述文章中提出了一种产生符合要求的一维噪声[[函数]]的简单方法，这是后续工作的基础：

# 在一维坐标轴上，选择等距的无穷个点，将值空间划分为等长的线段（为方便起见，选择坐标值为整数的点），为每个点随机指定一个值{{來源請求}}；
# 对于坐标值为整数的点，将该点对应的值作为噪声图像上该点的值；对于坐标值不为整数的点，将相邻两点的值进行[[插值]]运算，获得该点的数值(灰度)。

插值使用的函数是一个在0处为1，在1处为0，在0.5处为0.5的连续单调减函数。例如，设 <math>c_0, c_1</math> 为左右两整数点的数值，<math>t</math> 为该点距离左边点的距离，使用 <math>(1-t)</math> 作为插值函数，则该点的值为 <math>c_1(1-t) + c_0t</math>。

<math>(1-t)</math> 是线性插值，得到的结果人工痕迹严重，且在整数点上不连续。Perlin建议使用 <math>3t^2 - 2t^3</math> 作为插值函数 <ref name=PERLIN85/>，后来又建议使用 <math>6t^5-15t^4+10t^3</math> 作为插值函数<ref name=PERLIN02>{{cite book en|author=Ken Perlin|title=Improving noise|booktitle=SIGGRAPH '02: Proceedings of the 29th annual conference on Computer graphics and interactive techniques|year=2002|isbn=1-58113-521-1|pages=681--682|publisher=ACM}}</ref>；事实上，只要是在区间[0,1]内连续的函数<math>f</math>，有<math>f(0)=1</math>，<math>f(1)=0</math>且<math>f'(0)=f'(1)=0</math>的函数皆可做为插值函数。实际应用如下：设<math>f</math>为插值函数，插值结果为<math>c_0f(1-t) + c_1f(t)</math>。

对于二维的情况，可以将上述算法进行推广，即：
# 为所有坐标为 <math>(x, y)</math> 且 <math>x, y</math> 都是整数的点指定一个值，同时指定一个[[梯度]]，这些点将空间分成方格；
# 对于坐标轴为整数的点，即上述方格的顶点，将为它指定的值作为该点的值；对于某个方格内部的点 <math>(x, y)</math>，用所在方格四个顶点的值和[[梯度]]进行插值。

例如，对于点 <math>(x, y)</math>，令 <math>i = \lfloor x \rfloor, j = \lfloor y \rfloor</math> 它所在方格的四个顶点分别为： <math>(i, j)</math>、<math>(i+1, j)</math>、<math>(i+1, j+1)</math>、<math>(i, j+1)</math>。令 <math>u=x-i, v = y-j</math>，这四个顶点对点 <math>(x, y)</math> 的贡献可以用它们的[[梯度]]（<math>g_{00}, g_{10}, g_{11}, g_{01}</math>）和 <math>(x, y)</math> 点与这四个顶点的方向（<math>(u, v)</math>、<math>(u-1, v)</math>、<math>(u-1, v-1)</math>、<math>(u, v-1)</math>）进行点积获得。但是在二维的情况下，插值更为复杂。首先需要对 <math>(i, j)</math> 和 <math>(i+1, j)</math> 两点在 <math>x</math> 方向插值，得到点 <math>(x, j)</math> 的值；之后对 <math>(i, j+1)</math> 和 <math>(i+1, j+1)</math> 两点在x方向插值，得到点 <math>(x, j+1)</math> 的值；最后对 <math>(x, j)</math> 和 <math>(x, j+1)</math> 在 y 方向插值，得到 <math>(x, y)</math> 的值。

在三维的情况下，需要进行七次插值。可以证明，插值次数随着维数的增长指数增长。

经典Perlin噪声基本满足Perlin提出的噪声条件。但是由于 <math>3t^2 - 2t^3</math> 导数中含有线性分量，在计算相邻点差时会体现出人工效果，不够自然。经典Perlin噪声在进行下文的分形和运算后效果不够自然<ref name=PERLIN02/>。