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=== 複數 ===
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最早但短暫論及負數平方根的是在西元一世紀希臘數學家和發明家[[希羅]]的工作中，當他在思考一[[金字塔]]可能的[[平截頭體]]體積時。複數在西元十六世紀開始變得很顯著，因為義大利數學家（見[[塔塔利亞]]和[[卡爾達諾]]）所發現三次及四次多項式的公式解。這一公式很快就被知道，而即使只注意實數解的部份，有時也會有需要操作負數平方根的時候。

這使人感到雙倍的不安，因為當時連負數都不被認為是很牢固的了。虛（imaginary）這一詞因此在1637年被[[笛卡爾]]創造出來，並且帶有些許貶義（參考[[虛數]]中討論複數真實性的部份）。更令人困惑的來源是等式<math>\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math>似乎任性地不和代數恆等式<math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math>相合，而這一代數恆等式卻是在<math>a</math>和<math>b</math>都是正數時成立，而且也在<math>a</math>和<math>b</math>一正一負時可以被使用在複數計算上。這一恆等式（和另一相關的恆等式<math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math>）在<math>a</math>和<math>b</math>皆為負數時的錯誤使用甚至使得[[萊昂哈德·歐拉]]感到迷惑。這一困難最終導致他使用一特別的符號<math>i</math>來取代<math>\sqrt{-1}</math>來警惕此一錯誤。

觀看十八世紀時[[亞伯拉罕·棣莫弗]]和[[萊昂哈德·歐拉]]的工作。棣莫弗於西元1730年完成了以他為名的著名公式，[[棣莫弗定理]]：
:<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,</math>

而歐拉則在西元1748元完成[[複數分析]]中的[[歐拉公式]]：
:<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,</math>

複數的存在在西元1799年由[[卡斯帕爾·韋塞爾]]提出了幾何解釋之前都沒有被完全地接受，這一解釋在幾年後被[[高斯]]重新發現並普及，結果使複數理論得到了顯要的擴張。複數圖像表示的概念早在1685年便在[[约翰·沃利斯|沃利斯]]的''De Algebra tractatus''一書中提及。

也是在1799年，高斯提出了第一個廣為人接受的[[代數基本定理]]證明，表示任一複數係數多項都有完全的複數解。複數理論被廣泛地接受，[[奧古斯丁·路易·柯西]]和[[尼爾斯·阿貝爾]]的工作也佔了很大的功勞，尤其是後者，他是第一個大膽成功使用複數的人。

高斯研究過[[高斯整數]]（<math>a+bi</math>中的<math>a</math>和<math>b</math>是整數或有理數）。而其學生[[費迪南·艾森斯坦]]則研究過<math>a+b\omega</math>中的ω是<math>x^3-1=0</math>複數根的類型。其他種類的複數還有由較大<math>k</math>值的[[單位根]]<math>x^k-1=0</math>推出的類型。其普遍化大部份歸功於[[恩斯特·库默尔]]的工作，他也引進了[[理想數]]的概念，它在1893年被[[菲利克斯·克萊因]]表示成幾何實體。[[域 (數學)|域]]的一般理論由[[埃瓦裡斯特·伽羅瓦]]創造出來，他主要在研究由多項式方程<math> F(x)=0</math>產生出來的體。

西元1850年，[[皮瑟]]成功地把極點（pole）和分支點（branch point）區別出來，而且引起了[[奇点 (数学)|數學奇點]]的概念，這一概念最終導致出了[[黎曼球]]的概念。