编辑“︁0.999…”︁（章节）

== 应用 ==
0.999…的其中一个应用，出现在基本[[数论]]中。1802年，H·古得温出版了一份观察资料，描述了分母为一定的[[素数]]的分数的小数展开式中9的出现。例子包括：
* <sup>1</sup>/<sub>7</sub> = 0.142857142857…，而142 + 857 = 999。
* <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0.0136986301369863…，而0136 + 9863 = 9999。
E·米迪在1836年证明了关於这类分数的一个一般的结果，现在称为'''[[米迪定理]]'''。当初出版时没有写得很清楚，这时也不知道他的证明是不是直接提到了0.999…，但至少有一个W·G·莱维特的现代证明是这样的。如果这时可以证明，一个具有形式0.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>…的小数是正整数，那么它就一定是0.999…，这也就是定理中9的来源。<ref>Leavitt 1984 p.301</ref>在这个方向上继续做研究，就可以得出诸如[[最大公因數|最大公因子]]、[[同餘|同余]]、[[費馬數|费马素数]]、[[群]]元素的[[階 (群論)|階]]，以及[[二次互反律]]等概念。<ref>Lewittes pp.1–3; Leavitt 1967 pp.669,673; Shrader-Frechette pp.96–98</ref>

[[File:Cantor base 3.svg|thumb|康托尔集合中<sup>1</sup>/<sub>4</sub>、<sup>2</sup>/<sub>3</sub>，和1的位置。]]
回到實分析的主题上，三进制中的类似等式0.222… = 1在刻划[[康托尔集|康托尔集合]]──一个最简单的[[分形|碎形]]的特征中，扮演了一个十分重要的角色：
* 一个[[區間|单位区间]]中的点位於康托尔集合内，当且仅当它在三进制中可以只用数字0和2来表示。

小数中的第''n''位反映了在第''n''个阶段时点的位置。例如，点²⁄<sub>3</sub>可以如常地表示为0.2或0.2000…，这是因为它位於第一个删除部分的右面，以及以后所有的删除部分的左面。点<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>则不表示为0.1，而表示为0.0222…，这是因为它位於第一个删除部分的左面，以及以后所有的删除部分的右面。<ref>Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150–152. Protter and Morrey（p.507）和Pedrick（p.29）把这个描述作为一个练习。</ref>

重复的9还出现在另外一个康托尔的研究成果中。在应用[[对角论证法|他在1891年发表的对角线论证法]]来证明单位区间的[[不可數集|不可数性]]时，必须要考虑到这种因素。这种证明需要根据小数展开式来断言两个实数是不同的，所以这时需要避免诸如0.2和0.1999…之类的数对。一个简单的方法把所有的实数表示为无限小数；相反的方法便排除了重复的9的可能性。<ref>Maor（p.60）和Mankiewicz（p.151）考察了第一种方法；Mankiewicz把它归功於康托尔，但原始文献不明。Munkres（p.50）提到了第二种方法。</ref>一个可能更加接近於康托尔原先的证明的变体，实际上使用了二进制，把三进制展开式转换为二进制展开式，这时也可以证明康托尔集合的不可数性。<ref>Rudin p.50, Pugh p.98</ref>