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== 计算自然对数的级数 ==
有一些[[级数]]用来计算自然对数。<ref>''Handbook of Mathematical Functions'', National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.</ref>最简单和低效的是:
:<math>\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n</math>当<math>|z-1|<1\!</math>。
下做推导：

由
:<math>\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots</math>。
在两边积分得到
:<math>-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots</math>
:<math>\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots</math>。
设<math>z=1-x\!</math>并因此<math>x=-(z-1)\!</math>，得到
:<math>\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots</math>
更有效率的级数是基於[[反雙曲函數]]的
:<math>\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}</math>
对带有正实部的<math>z</math>。

推导：代换<math>-x</math>为<math>x</math>，得到
:<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math>。
做减法，得到
:<math>\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots</math>。
设<math>z=\frac{1+x}{1-x} \!</math>并因此<math>x = \frac{z-1}{z+1} \!</math>，得到
:<math>\ln z=2\left[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right]</math>。

例如，应用这个级数于
:<math>z=\frac{11}{9}, </math>
得到
:<math>\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},</math>
并因此
:<math>\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)</math>
:<math>=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)</math>
:<math>=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots</math>

在这里我们在第一行的总和中提出了因数<math>\frac{1}{10}</math>。

对于任何其他底数<math>\beta</math>，我们使用

:<math>\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}</math>。

{{NoteTA
|G1=IT
}}