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=== 瞬态传热分析中控制微分方程的离散化 ===
瞬态热分析比稳定热分析更重要，因为该分析包括随时间变化的环境条件。在瞬态热传导中，温度随时间和位置而变化。如图6所示，瞬态热传导的[[有限差分法]]解除了空间離散以外，还需要时间步階离散。
[[File:Fig_five.jpg|右|缩略图|图6：有限差分随时间变化的问题涉及时间以及空间上的离散点]]
如图7所示，存在平面壁中一维传导[[有限差分法]]瞬态公式的节点和体积元素。
[[File:Fig_six.jpg|右|缩略图|图7：平面壁一维瞬态有限差分公式的节点和体积元素]]
对于这种情况，方程式（1）的[[有限差分法|有限差分]]显式解如下：

: <math>  k A\frac{(T_{m-1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}} +k A\frac{(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}}+ {e_{m}}A \Delta {x}= (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{m}^{i+1} - T_{m}^i )}{\Delta x} </math>

上面的方程可以针对温度明确求解<math>(T_{m}^{i+1})</math>给

: <math> {T_{m}^{i+1}}= \tau {(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}+{(1-2\tau)}T_{m}^i +\tau \frac {(e_{m} \Delta {x}^2)}{k} </math>

此處，

: <math> \tau = \frac{(\alpha \Delta t )}{\Delta x^2} \, </math>

和

: <math> \alpha = \frac{k}{\rho c_p} \, </math>

这里， <math> \tau </math>代表细胞傅立叶号， <math> \alpha </math>代表热扩散率<math> c_p </math>代表恒压下的比热， <math> \Delta t </math>代表时间步长， <math> \Delta x </math>代表空间步长。

上面的等式对所有内部节点均有效，并找到第一个和最后一个节点的关系，应用边界条件（如适用），如稳态传热中所述。对于对流和辐射边界，如照射物體的太陽辐射 <math> q_{solar} </math> ，單位為 <math> (W/m^2) </math> ，[[反照率]]常数K已知，与温度的关系如下：

: <math> h A {(T_{\infty}^i - T_{0}^i )}+ \kappa A q_{solar} = (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{1}^i - T_{0}^i )}{\Delta x}  </math>